「はさみうち」を使う問題

質問

数列｛x_n｝は、不等式
４x_n+1－３x_n＜２　・・・１
２x_n+1－x_n＞２　　・・・２
を満たす。
(1)x_n+1－２＜（3/4）^n（x_1－２）を示せ
(2)lim（ｎ→∞）x_nを求めよ

ほかの「はさみうち」をつかう問題と似ているのですが不等式のタイプは解いたことがなく、(1)を数学的帰納法で示そうとしたのですが、うまく１の式を使えませんでした。
n＝１のときは１の式を変形するだけでできたのですが
n=ｋのときの仮定からn=k+1が成り立つことがうまく示せません。

それとも１，２の式から帰納法を用いずに変形して導くことも可能なのでしょうか？

回答いただければありがたいです。よろしくお願いいたします

回答No.2

kakkysan · ベストアンサー

不等号だと難しいですが、これが等号だとして考えてみてください。
x_n+1－２＝（3/4）^n（x_1－２）・・・これは何を意味しているでしょう

(1)　１式は　４（x_n+1－２）－３（x_n－２）＜０　と変形できます

これより　x_n+1－２＜（3/4）（x_n－２）
　　　　　　　　・・・　
　　　　　　　　・・・繰り返して
　　　　　x_n+1－２＜（3/4）^n（x_1－２）

(2)　１と同様に２も

　　　x_n+1－２＞？？？　　と変形でき

　ここで挟み撃ちをしましょう

補足

回答ありがとうございます。
最後の結果なのですが、x_n+1が２に収束したことからx_nが２に収束としていいのでしょうか？

回答No.1

k_train_9999

hintとして
（１）は、左辺がｘ_n+1－２となっているので、

条件式４x_n+1－３x_n＜２　・・・１
をうまいことｘ_n+1－２＜（？）
となるように変形をすれば、示せると思います。

（２）は、（１）が、ヒントになっています。