「収束」を定義すれば、位相も定義できる？

質問

位相空間では、点列の収束という概念が定義されていると思います。手元に適当な本がないので、不確かな記憶ですが、
位相空間Ｘの点列(a_n)がαに収束する
⇔αを含む任意の開集合Ｏについて、あるＮが存在して、ｎ≧Ｎならばa_n∈Ｏである
という雰囲気の定義だったと思います。(ｎは自然数のような離散的な値ではなくてもよいはずですが、自然数と考えて問題ありません)

さて、ある空間Ｘ上の点列(a_n)に対して「収束(極限)」の概念を定義したとしたとします。
この時、空間Ｘに適当な位相構造を入れてやる事で、位相空間Ｘにおける収束と、ここで定義した収束が一致するようにする事は可能でしょうか？(もし、必要なら、Ｘはベクトル空間としても構いません)
そもそも何を「収束」と呼ぶべきかすら分からないですが、一般的な定義あるのであればその定義と考えて差し支えありません。(ないのであれば、困ってしまうのですが、きっとあるでしょう)

具体的な例としては、ヒルベルト空間の線型演算子には、「弱収束」や「強収束」と言った概念がありますよね。これらの意味の収束を与える位相は存在するのか、という事です。(具体的にどう構成するのかは知りませんが、「弱位相」とか「強位相」と呼ばれる位相があったと思います)

回答No.3

ringohatimitu · ベストアンサー

ヒルベルト空間上の線形作用素にいろいろ位相は導入できます。それらはすべて局所凸位相と呼ばれるもので一般にあるセミノルム族が与えられたときにそれらから定義される開近傍系を基に作られる位相です。ここら辺の話は関数解析の本に載っていると思いますが詳しく知りたいのなら一般的な関数解析よりも作用素環論、作用素論の本の最初の部分などを参照すると良いと思います。
回答に戻りますが参考になるかどうかかなり怪しいですが一応質問者さんの言いたいことを踏まえたつもりになると。。ヒルベルト空間上線形作用素の場合に絞りますがその場合上で述べたセミノルムというものが定義されていますよね？すなわちA→|<ψ|A|φ>|という写像です。
これはある意味各Aに対して距離（もしくはノルム）みたいな数値が決められていて点列{A_n}がAに（この尺度で）収束するということを
|<ψ|A-a_n|φ>|→０で定義しているわけです。
これは自然に次の開集合系（開近傍系とも呼ばれる）を誘導します：
V(B: ψ,φ:ε)={B: |<ψ|A-B|φ>| < ε}
これらの形の集合の有限個の共通部分、任意和からなる集合を開集合と定義します。するとこれはもとの意味での収束と同じ収束を意味しています。近づくという感覚はε＞０という任意の正数を導入したところにあります。若干ここで注意すべきところは「この位相でA_nがAに近づくということは高々有限個の上の形の開集合（B=A）が存在してある番号以上のすべてのｎに対してA_nがその有限個の集合に含まれている」ということです。無限個の共通部分ではないということですね。このような話は位相の基本ですがweak-topology,weak operator-topology(wo-topology), strong-topology(norm-topology), strong operator-topology(so-topology), weak*-topologyなどいろいろ導入されていて面白い作用素環論の本が個人的にはお勧めです。すでに知ってらっしゃるかもしれませんが蛇足ながらフォンノイマン環の話はこれらの位相のひとつで閉じているある部分空間は代数的に特徴付けられる（Double commutantと呼ばれるもの）という基本定理から始まっていてなかなか興味深いものです。

お礼

>V(B: ψ,φ:ε)={B: |<ψ|A-B|φ>| < ε}
実は、これと同じような事を今日、考えていたのですが(右辺は、{A: ・・・}と解釈します)その時はψ,φの扱いに悩んでいました。

右辺を
{A:任意のψ,φについて|<ψ|A-B|φ>| <ε}
{A:<ψ|ψ>=<φ|φ>=1なる任意のψ,φについて|<ψ|A-B|φ>| <ε}
などと考えてみたりしたのですが、本当にこれで上手くいくのかな、と悩んでいました。(少なくとも、前者は上手くいかない)

ですが、仰る式を見る限り、ψもφも、εのように一種の"パラメータ"とみなせばいいんですね。なるほど、確かに、それなら上手くいきそうな気がします。

>ここら辺の話は関数解析の本に載っていると思いますが詳しく知りたいのなら一般的な関数解析よりも作用素環論、作用素論の本の最初の部分などを参照すると良いと思います。
図書館に作用素環論の本が置いてあったので、何度か手を伸ばそうとしたのですが、何と言うか、同じシリーズの本に「佐藤超関数」のようないかにもごつそうな名前があるのを見ると、何故か手が引っ込んでしまうんですよねｗ
まぁ、どっちにしても、この辺りの本はもっと詳しく勉強するつもりでいるので、またその時に質問することがあるかもしれませんが、その時はよろしくお願いします。

補足

ご回答ありがとうございます。(先ほどお礼の法に書き忘れてしまいました。申し訳ありません。)

考えている空間Ｘの極限を、別の空間における位相による極限を用いて定義した場合にもほぼ同様のやり方で空間Ｘに位相が導入できるだろうと思います。まぁ、これだけで私の疑問のほぼ全てが解決したと言ってもいいのですが、

実は、質問文あるいは#1さんの補足を書くときに、(弱収束の定義のように)
「空間Ｘの極限は、別の空間における位相を用いて定義していることにしよう」
という事を書こうかどうか悩んだのですが、結局、書きませんでした。

というのは、
「任意の点列は任意の値に収束する」
「有限個のnを除いてa_n＝αが成り立てば、数列{a_n}はαに収束する」
という定義のように、別の空間の位相を用いない定義もあるなと思ったからです。(それぞれ、密着位相、離散位相における極限と一致します)　これ以外には、一切思い浮かばないのですが、これ以外にもあるかもしれないので、あえて限定しませんでした。(ただ、こういうものをきちんと扱おうと思ったら、#2さんの補足に書いたように、「極限の公理」みたいなものがないと困りそうなので、考えなくてもいいかな、と思ってきました)

もう１つの理由としては、
「別の空間の位相の意味で収束して、しかも、別のある条件を満たす」場合に収束するという形の定義もありうる、というのもあります。(もともとの疑問となった収束の定義は、こういう形の定義でした)
まぁ、これに関しては、
>V(B: ψ,φ:ε)={B: |<ψ|A-B|φ>| < ε}
と同じような手法で定義したものと、"別のある条件"を満たすものとの共通部分を考えてやるだけで上手くいきそうですかね。

回答No.4

kabaokaba

No.1です

No.3さんがお書きになってるようなことを
書こうとしてたのですが，
関数解析は忘れかけてるので抽象的に・・・

一般に集合Xから位相空間Yへ
写像 f:X -> Y が定義されていれば
Xの開集合を f^{-1}(Yの開集合) で定義することで
Xは位相空間になります．

したがって
>この定義では、演算子の全体における「開集合」をあらわに使わずに
>「収束」が定義されていますよね。こういう状況を考えて欲しいです．

というのは，No.3さんのご指摘のように
すでに位相を考えてるようなものなんです．

>あるR^d上の(ある条件を満たす)関数の集合(Ｘとします)に、
>ある方法で「収束」を定義し、Ｘにこの意味での
>収束を定義したものをＹと読んでいます。

「その方法」に依存します．
というか。。。その定義を伏せる意味が
まるでわからないのですが(^^;;
もっと直接的に，

なんとかという本に，こういう集合にこういう収束性を定義したら
いつの間にか位相空間扱いされてたけど何ででしょう？

といえば，すっきりしませんか？

補足

ご回答ありがとうございます。

>「その方法」に依存します．
>というか。。。その定義を伏せる意味が
>まるでわからないのですが(^^;;

本を読んでいた
→その本では、収束を定義したと同時に位相空間とみなしていた
→(何の説明もなく)位相空間だと言っていたので、一般論として収束を定義すれば位相空間とみなせるのだろう。(そうでないのなら、ちょっとくらいは位相空間とみなせる理由を書くでしょう)
→収束を定義した後に、どうやって、開集合を見つけるのだろうか？
と思って、最後の部分を質問したんです。

>なんとかという本に，こういう集合にこういう収束性を定義したら
>いつの間にか位相空間扱いされてたけど何ででしょう？
のように、特にこの本の場合に位相空間と思ってよいのか、という事ではなく、むしろ、一般論として位相空間とみなせるのか(どうやって開集合を見つけるのか)、という事を知りたかったのです。(その一般論で、"収束"をどう扱えばいいか、という事がネックではあったのですが)

どういう状況を考えているのか、という例としては、弱収束のようなもので十分で、読んでいる本に書いてあるものである必要がありませんでした。正直、本に書いてある定義をいちいち書くのが面倒だったんですよね(←ぉぃ！)。一方、弱収束の例なら簡単に書けるし、しかも、伝わりやすいだろうと思ったんですよね。だから、(本に書いてあるものではなく)弱収束の例をあげました。

仰るように伏せる理由は全くないので、書いた方がよければいくらでも書きますが、結局は「弱収束の場合と同じ事をやって下さい」という回答になるだけだろうと思います。
※もうほとんど解決したつもりでいるのですが、本当に弱収束の場合と同じかどうか考えてから締め切るか補足するかしたいと思っています

回答No.2

BO-BO-keshi

こんばんは！

正直よく分からないんですが、
面白そうな内容なのでつい書き込んでしまいました(^-^；)ｗ

「収束の概念を定義する」とのことですが、
任意の点列に対して、それが収束するか否か、
収束するならばどの点に収束するのか、
をまず決めてしまうということですか？　…★

> そもそも何を「収束」と呼ぶべきかすら分からないですが、
> 一般的な定義あるのであればその定義と考えて差し支えありません。
収束という概念を位相が定義されていないところで
考えた事がない気がしますので分かりませんｗ

もし収束を★のように定義したとして、
そこで定義した収束に対応する位相が存在する為には
適当な条件が必要だと思うんですが、
どんな条件なんでしょうか…

バカな事や論点の外れた事を言ってたらどうしようｗ
半分思いつきなので一晩考えてまた来ますｗ

補足

ご回答ありがとうございます。返事が遅くなってすいません。

>「収束の概念を定義する」とのことですが、
>任意の点列に対して、それが収束するか否か、
>収束するならばどの点に収束するのか、
>をまず決めてしまうということですか？　…★
まぁ、それでもＯＫです。でも、個人的には、「与えられた点列がαに収束するか否か」を決めるのがいいのかな、と思っています。
(まぁ、集合Ｘの点列の極限を考える時に、質問文に書いたような感じで、Ｘの開集合をあらわに使う形の定義でなければ問題ありません)

ただ、何でもかんでも「極限だ」と言ってもどうしようもないので、「距離の公理」のような感じで、「極限の公理」みたいなものを設定する必要が出てくると思います(他の切り口もあるかもしれませんが)。

このことに関して、一般的な了解がある事をちょっと(いや、かなり)期待していたんですが、もしないとすると、私がここでそれを提示するしかないですよね。多分。正直、変な空間を考えようとしている訳ではないので、「なるほど確かに、nが大きくなるにつれて、αに近づいていそうだ」と思える定義なら何でもいいのですが(笑)、真面目な議論をしようと思ったら、そういう訳にはいかないんですよね・・・。「eaternの極限の公理」なるものを提示してもいいのですが、それでは、私のもともとの疑問とは違う方向に進んでしまうんですよね。困ったな。もうちょっと考えてみます。

>そこで定義した収束に対応する位相が存在する為には
>適当な条件が必要だと思うんですが、
>どんな条件なんでしょうか…
「そのような位相が"無条件に"存在するのだろうか」という趣旨の質問です。

回答No.1

kabaokaba

>ある空間Ｘ上の点列(a_n)に対して「収束(極限)」の概念を定義したとしたとします。

これをどう定義します？そこが最重要です．
収束というのは「近づく」ということですが
「近い」というのは位相で定義されます．
近いという概念があって始めて「近づく」が考えられますよね．
したがって，
収束の定義と位相の定義は同値というか
同じレベルのものではないと思います．

>もし、必要なら、Ｘはベクトル空間としても構いません
ベクトル空間というのは極めて強固な構造をもつ空間で
有限次元の場合は，多少語弊はありますが
位相空間的にみれば全部同じです．
＃ノルムがあったりすると，有限次元の場合は
＃どんなノルムも同じ位相を作るはずです
ベクトル空間とした段階で位相が決まってしまう感じです．

>ヒルベルト空間の線型演算子には、「弱収束」や「強収束」と言った概念がありますよね。これらの意味の収束を与える位相は存在するのか、という事です。

ヒルベルト空間といった場合には
必ず「ノルム」が存在し，そのノルムから導入される距離で
完備であり，位相はその距離によるものです．
また，弱位相・強位相などはその位相から導入されるものであり
弱収束・強収束はそれぞれ弱位相・強位相から定義されます．
バナッハ空間でも同様でしょう．

補足

ご回答ありがとうございます。

＞これをどう定義します？そこが最重要です．

う～ん、何て言ったらいいのかが分からないのですが、
演算子列{A_n}がAに(弱)収束する事を
任意のψ,φについて、<ψ|A_n|φ>→<ψ|A|φ>　(n→∞)　(←これは、Ｃにおける普通の意味の収束です)
となる事、のように定義される事があります。この定義では、演算子の全体における「開集合」をあらわに使わずに「収束」が定義されていますよね。こういう状況を考えて欲しいです．

もともとは、ある本を読んでいて思った疑問なんです。
あるR^d上の(ある条件を満たす)関数の集合(Ｘとします)に、ある方法で「収束」を定義し、Ｘにこの意味での収束を定義したものをＹと読んでいます。脚注やその後の記述を見る限り、どうもこのＹを位相空間と見ているようなのです。

仰るように、とにかく収束を定義したという事は、「近い」という概念を定義したという事ですので、その意味では何らかの位相があるのだろうという事は想像できます。しかし、位相空間と呼ぶには、「開集合」が必要ですよね。具体的に「どういう集合が開集合なのか」(または、そういう開集合を「収束」からどうやって見出すのか)という事がちっとも分からないのです。