大学で解析学を習っているのですが、以下の問題が分かりません。解答お願い

質問

大学で解析学を習っているのですが、以下の問題が分かりません。解答お願いします。

次の等式を示せ。

（１） f(x)=arcsinx (-1<x<1) のマクローリン展開をせよ。その際、項別積分可能であることを丁寧にチェックすること。

（２） ｛f_n(x)} (n=1から∞）は区間I上で定義された関数列とする。このとき、｛f_n(x)} (n=1から∞）が関数f（x)にI上一様収束すれば、｛f_n(x)} (n=1から∞）はf(x)に各点収束することを示せ。

回答No.3

alice_38 · ベストアンサー

εδ式を実際に書き出してみると、
一様収束の方は、∀ε,∃N,∀x,…
各点収束の方は、∀x,∀ε,∃N,…
という形をしているハズです。
論理式の∀と∃の位置を入れ換えると、
どちらが/どちらの必要条件/十分条件になるか、
論理学の教科書(解析学ではなく)から
引用すればよいでしょう。

回答No.2

alice_38

(1)
マクローリン係数を求めたら、
ダランベールの公式で
収束半径を求めましょう。
1 になるハズです。
巾級数は収束円内では一様絶対収束し、
一様収束する級数は項別積分可能です。

(2)
一様収束と各点収束を、それぞれ
εδ式で書き表してみましょう。
両方の論理式を見比べると、
証明はホボ自明です。
x に依存しない δ が存在するのなら、
x に依存しても構わない δ も存在している
ことになります。

お礼

（1）の項別積分可能について出来ました！有難うございます。
（2）についてはおっしゃることは分かるのですが、学生の前で発表する際、なんと説明すればよいかわからないのですが・・・。

回答No.1

info22_

(1)のみ
以下参考URLに載っていますのでご覧下さい。

参考URL
http://www.rarul.com/k-tai/java/math/
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q118423586?fr=rcmd_chie_detail
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87