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解析の問題です。
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テイラーの定理より,任意のxに対して f(x)=f(a)+(f^(n)(c)/n!)(x-a)^n となるcが a<c<x or x<c<a に存在する 1)仮定よりf^(n)は連続なのでf^(n)(a)＞0のとき |x-a|を十分小さくとればf^(n)(c)は常に正となる 従ってf(x)=f(a)+(正の数)(x-a)^n となり、明らかにx=aにおいてfは極小になる 2),3),4)も同様。
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