解析の問題です。

質問

解析の問題です。

Iを開区間、a∈I、ｆ（ｘ）：I→RをC＾ｎ級関数とする。
ｆ'（a）=f''(a)=・・・=f^(n-1)(a)=０ , f^(n)(a)≠０
と仮定する。このとき次を示せ。

１）ｎが偶数でｆ＾(ｎ)（a）＞０ならば、ｆはｘ＝aで極小
２）ｎが偶数でｆ＾(ｎ)（a）＜０ならば、ｆはｘ＝aで極大
３）ｎが奇数でｆ＾(ｎ)（a）＞０ならば、ｆはｘ＝aのまわりで単調増加
４）ｎが奇数でｆ＾(ｎ)（a）＜０ならば、ｆはｘ＝aのまわりで単調減少

の示し方がわかりません。
わかる方は教えてください。

回答No.1

handarin · ベストアンサー

テイラーの定理より,任意のxに対して
f(x)=f(a)+(f^(n)(c)/n!)(x-a)^n
となるcが　a<c<x or x<c<a　に存在する

1)仮定よりf^(n)は連続なのでf^(n)(a)＞0のとき
|x-a|を十分小さくとればf^(n)(c)は常に正となる
従ってf(x)=f(a)+(正の数)(x-a)^n
となり、明らかにx=aにおいてfは極小になる
2),3),4)も同様。