高校数学、必要十分性（初学者）

質問

ｘ＝αを含む区間でｆ‘‘（ｘ）が連続の時、(1)ｆ‘（α）＝０、ｆ‘‘（α）＜０⇒ｆ（α）は極大値(2)ｆ‘（α）＝０、ｆ‘‘（α）＞０⇒ｆ（α）は極小値
と教科書にあるのですが、この逆が成り立つのかと思って証明を考えました。
ｆ（α）で極大値をとるならば、ｆ‘（α）＝０、αではｆ‘（ｘ）が増加から減少へと変化するので、ｆ‘‘（α）＜０ゆえに逆は成り立つ。と考えたのですが、今度はｆ（α）で極大値⇒ｆ‘（α）＝０の逆は成り立たないので、上の「ｆ（α）で極大値をとるならば、ｆ‘（α）＝０」の部分の十分性が心配になりました。論理というものを理解していない質問だったらごめんなさい。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

f(x) = x^3　　(0≦x≦1)
のとき、
f(1)=1は極大値です。

～～～～～～
f(x) をRn の部分集合 A で定義された（つまり n 変数の）実数値関数とする。x0 のある ε-近傍が A に含まれ、f(x0) がその近傍に属する任意の点 x に対して f(x0) ≥ f(x) を満たすとき、f(x) は x0 において極大になるといい、f(x0) を極大値という。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4
～～～～～～

x0の近くにf(x0)<f(x)を満たすxが存在しなければ、
f(x0)は極大値。

つまり、
「ｘ＝αを含む区間でｆ‘‘（ｘ）が連続の時、(1)ｆ‘（α）＝０、ｆ‘‘（α）＜０⇒ｆ（α）は極大値(2)ｆ‘（α）＝０、ｆ‘‘（α）＞０⇒ｆ（α）は極小値」
の逆は成り立たない。

お礼

ありがとうございます

補足

では、片道しか成り立たないということですね。
教科書の問題で、第２次導関数を利用して、関数の極値を求めよ。
ｆ（ｘ）＝ｘ＾４－４ｘ＾３＋４ｘ＾２＋１
ｆ‘（ｘ）＝４ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）
ｆ‘‘（ｘ）＝４（３ｘ＾２－６ｘ＋２）
ｆ‘（ｘ）＝０とすると、ｘ＝０，１，２
F``(０）＞０、ｆ‘‘（１）＜０、ｆ‘‘（２）＞０より、
ｘ＝０で極小値１、ｘ＝１で極大値２、ｘ＝２で極小値１をとる。
とここで解答が終わっています。
片道しか成り立たないのであれば、ｘ＝０で極小値１、ｘ＝１で極大値２、ｘ＝２で極小値１をとるときに、本当に、元の関数に一致するのか？という十分性の議論が必要だと心配になったのですが、私の論理の誤解ですか?

回答No.1

rnakamra

>ｘ＝αを含む区間でｆ‘‘（ｘ）が連続の時、(1)ｆ‘（α）＝０、ｆ‘‘（α）＜０⇒ｆ（α）は極大値(2)ｆ‘（α）＝０、ｆ‘‘（α）＞０⇒ｆ（α）は極小値
と教科書にあるのですが、この逆が成り立つのかと思って証明を考えました。

成り立ちません。
成り立たない簡単な例を挙げます。

f(x)=x^4 はx=0で極小値をとりますがf"(0)=0です。

お礼

ありがとうございます

補足

では、片道しか成り立たないということですね。
教科書の問題で、第２次導関数を利用して、関数の極値を求めよ。
ｆ（ｘ）＝ｘ＾４－４ｘ＾３＋４ｘ＾２＋１
ｆ‘（ｘ）＝４ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）
ｆ‘‘（ｘ）＝４（３ｘ＾２－６ｘ＋２）
ｆ‘（ｘ）＝０とすると、ｘ＝０，１，２
F``(０）＞０、ｆ‘‘（１）＜０、ｆ‘‘（２）＞０より、
ｘ＝０で極小値１、ｘ＝１で極大値２、ｘ＝２で極小値１をとる。
とここで解答が終わっています。
片道しか成り立たないのであれば、ｘ＝０で極小値１、ｘ＝１で極大値２、ｘ＝２で極小値１をとるときに、本当に、元の関数に一致するのか？という十分性の議論が必要だと心配になったのですが、私の論理の誤解ですか?