至急お願いします（微分積分）

質問

[至急]
「関数ｆ（ｘ）はx=aの近傍でC（ｎ回まで微分可能）級でｆ’（a)=・・・=f(n-1回微分)(a)=0,f(n回微分）(a)≠0である場合で

「関数ｆ（ｘ）はx=aの近傍でC（ｎ回まで微分可能）級でｆ’（a)=・・・=f(n-1回微分)(a)=0,f(n回微分）(a)≠0である場合で

(1)「f(x)がx=aの近傍でC（n回微分が可能）級」の意味を微分可能・連続の言葉を用いて説明せよ。

(2)f(x)をx=aの周りでTaylor展開せよ。

(3)nが偶数でf(ｎ回微分)(a)>0のとき、f(x)はx=aで極小値をとることを示せ[ｆ(n回微分）(a)<0のときは極大値である。]

(4)ｎが奇襲でf(ｎ回微分)(a)>0のとき、f(x)はx=aの近傍で単調増加となることを示せ[ｆ(n回微分）(a)<0のときは単調減少である]

上の問題が分かる方がいましたら教えていただけると助かります。どれか1問のみでも結構です。
詳細な回答を頂けたら幸いです。

回答No.4

muturajcp

f(n回微分）(a)=f^(n')(a)とする
(2)
f(x)=f(a)+f^(n')(a)(x-a)^n/n!+(x-a)^{n+1}g(x)
(3)
f'(x)=f^(n')(a)(x-a)^{n-1}/(n-1)!+(n+1)(x-a)^ng(x)+(x-a)^{n+1}g'(x)
=(x-a)^{n-1}{f^(n')(a)/(n-1)!+(n+1)(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)}
nが偶数でf^(n')(a)>0のとき
∃δ>0(|x-a|<δ→|(n+1)(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)|<|f^(n')(a)/(n-1)!|)
-δ<x-a<0のとき(x-a)^{n-1}<0→f'(x)<0→f(x)は減少
0<x-a<δのとき(x-a)^{n-1}>0→f'(x)>0→f(x)は増加
だから
f(x)はx=aで極小値をとる

回答No.3

muturajcp

#2です。先ほどの回答は誤りでしたので、取り消します。

回答No.2

muturajcp

(3)
R=(全実数)
f:R→R
x<0のときf(x)=x^3+x^2+1
x≧0のときf(x)=x^4+2x^3+x^2+1
とfを定義すると
f(0)=1
x<0のときf'(x)=3x^2+2x
x≧0のときf'(x)=4x^3+6x^2+2x
f'(0)=0
x<0のときf"(x)=6x+2
x≧0のときf"(x)=12x^2+12x+2
f"(0)=2
だからf(x)はx=0の近傍でC^n=C^2級で
f'(0)=0,f"(0)=2≠0
n=2偶数でf"(0)=2>0だけれども
-2/3<x<0のときf'(x)=x(3x+2)>0
0<xのときf'(x)=2x(2x^2+3x+2)>0
だから
f(x)はx=0で極小とならない

回答No.1

Tacosan

まず自分で考え, わからなければ調べ, それでもわからなければ質問するのがふつうでは?
丸投げしても力にはならないよ. せめて「どこまでわかってどこが分からないのか」を書くように.