偏微分の問題です。

質問

偏微分の問題です。
nを4以上の自然数とし,ｎ次元ユークリッド空間の部分集合Cを以下で定義する。
C={(x_1,・・・・,x_n);sin(πx_1)+....+sin(πx_n)=0,sin(πx_1)+sin(2πx_2)....+sin(nπx_n)=0}

このとき原点(0,...,0)の適当な開近傍において,x_n-1,x_n が x_1,x_2,...x_n-2の関数として
あらわせることを示せ。
という問題です。次の小問としてその関数を偏微分せよとあるので,ある程度具体的な形であらわすのだと思うのですが
わかりません。
よろしくお願いします。
πは円周率のパイを表します。見にくくて申し訳ありません。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

逆関数の定理（又は陰関数の定理）を使う練習問題ですね。

逆関数の定理を使うとすれば、次のようになります。

F を次のような n 次元ユークリッド空間から n　次元ユークリッド空間への写像とします。

　　F(x_1, x_2, ..., x_n) = (y_1, y_2, ..., y_n)
　　ただし、
　　y_1 = x_1
　　y_2 = x_2
　　　：
　　y_(n-2) = x_(n-2)
　　y_(n-1) = sin(πx_1)+....+sin(πx_n)
　　y_n = sin(πx_1)+sin(2πx_2)....+sin(nπx_n)

さらに、F の関数行列をD(F) とします。

するべき作業は、次の3 点です。いずれも単純計算です。

(1)　D(F) を x_1, x_2, ..., x_n の数式で具体的に表す。
(2)　D(F) が正則行列であることを示す。
(3)　D(F) の逆行列を計算する。

(2) が示されれば、逆関数の定理により、 x_1, x_2, ..., x_n が局所的に y_1, y_2, ..., y_n の関数になることが分かります。この関数をとくに y_(n-1)=0, y_n =0 の部分に限定すれば、それが x_(n-1) と x_n をx_1, x_2, ..., x_(n-2) で表す関数になります。

Fの逆関数の関数行列はD(F) の逆行列です。したがって、(3) の結果を使えば、任意の添え字 i と j に対して、∂x_i/∂y_j が分かります。とくに j≦n-2 のときx_j = y_j ですから、∂x_n/∂x_j や ∂x_(n-1)/∂x_j が分かります。

補足

回答ありがとうございます。
関数を定義してヤコビ行列を求めて逆行列を計算してみたのですが,0にならないことが証明できません。。。

回答No.2

ramayana

ANo.1 への補足「逆行列を計算してみたのですが,0にならないことが証明できません」について

ヤコビ行列 D(F) の左上 n-2 行 n-2 列は、単位行列です。これを I とします。同じく、右上 n-2 行 2 列は、零行列です。これを O とします。さらに、左下 2 行 n-2 列を P、右下 2 行 2 列を Q と置きます。

さて、このような、左上が正方行列で右上が零行列となる行列の行列式は、簡単に計算できて、

　　det(D(F)) = det(I)det(Q) = det(Q)

となります。よって、原点において det(Q) ≠ 0 であることを示せばよいわけです。

「;」で行を区切って、行列 Q を (第1行第1列, 第1行2列; 第2行第1列, 第2行第2列) で表示すると、

　　Q = (πcos(πx[n-1]), πcos(πx[n]); (n-1)πcos((n-1)πx[n-1]), nπcos(nπx[n]))

です。とくに原点おいては cos(πx[n-1]) = cos(πx[n]) = cos((n-1)πx[n-1]) = cos(nπx[n]) = 1　なので、

　　Q(原点) = (π, π; (n-1)π, nπ)

です。よって

　　det(Q(原点)) =π×nπ -π×(n-1)π = π^2 ≠ 0

となります。

*************
ちなみに、後の小問で D(F) の逆行列を使うことになりますが、次のようにしてこれを計算できます。

D(F)^(-1) の左上 n-2 行 n-2 列を R、右上 n-2 行 2 列を S、左下 2 行 n-2 列を T、右下 2 行 2 列を U と置きます。

　　D(F)D(F)^(-1) = (I, O; P, Q)(R, S; T,U)
　　　　= (R, S; PR+QT, PS+QU)

で、これが単位行列だから、

　　R = 単位行列
　　S = 零行列
　　PR + QT = 零行列
　　PS + QU = 単位行列

となります。これらから、

　　T = -Q^(-1)P
　　U = Q^(-1)

を得ます。

お礼

集合Cでの話なので行列式が0にならないんですね！
ありがとうございました！