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n回微分可能で（n＋1）回微分できない関数の例
初歩的な質問ですみません。 ｙ＝x^2 （ｘ≧０） 、－x＾2 （x＜0）とすれば 1回微分可能で2回微分は不可。 同様に ｙ＝x^（n+1) （ｘ≧０） 、－x＾(n+1) （x＜0） とすれば、n回微分可能で（n＋1）回微分できないC^n級の関数でした。 が、C^n級の関数はこれらの類似だけでしょうか？ もっと難しい、というか他の例がありましたら教えてください。
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本質的に 連続かつ微分できない関数 をつくれば終わりです． あとはその関数を好きなだけ 適当な初期値で積分すればいい． 連続で微分できない関数というのは そこでとがってればいい． 質問中で例示されている関数もそういう形です． 連続で「至るところで」微分できない関数は Weierstrass関数とか 高木関数というのが知られてますし， コッホ曲線とか ドラゴン曲線の類もその手のものでしょう． 一般にはおそらく 微分できる関数よりはるかに多い （集合論的にいえばより大きい濃度）関数が 微分できない関数でしょう．
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- kabaokaba
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＞C^n級の任意の元をとってきて、適当な初期値で積分すれば、C^（n+1）級に入る、ということは ＞C^n⊂C^（n+1) となり、おかしくありませんか？ ？ 関数fがC^nであれば，その原始関数はC^{n+1}です 決してfがC^{n+1}だなんていってませんので 包含関係については何も言及してません．
お礼
失礼しました。 C^n級の関数クラスの包含関係は、 C^n⊃C^(n+1) かと思います。 C^n級の関数を1回積分する写像を考えたら、C^(n+1)の上への写像になっている、ということは、 ｜C^n｜≦｜C^(n+1)｜ のような気がして、なんか違和感があったので・・・。
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補足
回答ありがとうございます。 >本質的に >連続かつ微分できない関数 >をつくれば終わりです． >あとはその関数を好きなだけ >適当な初期値で積分すればいい． なるほど、と思いました。積分すれば確かに。 が、その場合もう一つお願いします。 C^n級の任意の元をとってきて、適当な初期値で積分すれば、C^（n+1）級に入る、ということはC^n⊂C^（n+1) となり、おかしくありませんか？