微分積分の質問です。
- ３次関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾３＋aｘ＾２＋ｂｘ＋ｃの極値と極小値を求めよ。
- 点（０,c)で曲線ｙ＝ｆ（ｘ）に接する接線の方程式を求めよ。
- （２）で求めた接線と曲線ｙ＝ｆ’（ｘ）で囲まれた図形の面積を求めよ。
- ベストアンサー
微分積分の質問です。
３次関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾３＋aｘ＾２＋ｂｘ＋ｃはｘ＝１およびｘ＝－３で極値をとり、極小値は－５であるものとする。 （１）a,b,cの値を求めよ。 （２）点（０,c)で曲線ｙ＝ｆ（ｘ）に接する接線の方程式を求めよ。 （３）（２）で求めた接線と曲線ｙ＝ｆ’（ｘ）で囲まれた図形の面積を求めよ。 私は（１）は、ｆ（ｘ）は右肩上がりの３次関数だからｆ（１）＝－５、また、題意よりｆ’（１）＝０、ｆ’（－３）＝０で考えてa=-15/4,b=9/2,c=-27/4となりました。 （２）は、（１）で求めたものをｆ（ｘ）に当てはめて、そのｆ（ｘ）を微分し・・・と 接線はｙ＝(9/2)x-27/4となりました。 解答が省略されていてこれらの解があっているのかは、分かりません。 （３）は答えが｛37√（37)｝／２となっていたのですが、私の答えとは違っていて・・・。 （１）（２）からまちがっているのか、（３）を間違ったのかも分からないのですが、教えていただけると幸いです。
- hunade
- お礼率100% (56/56)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>（１）（２）からまちがっているのか、（３）を間違ったのかも分からないのですが、教えていただけると幸いです。 (1),(2),(3)とも間違いです。 正解は (1) a=3,b=-9,c=0 (2) y=-9x (3) (37√37)/2 です。 (1)は >（１）は、ｆ（ｘ）は右肩上がりの３次関数だからｆ（１）＝－５、また、題意よりｆ’（１）＝０、ｆ’（－３）＝０で考えて の考えは合ってますが、その後の連立方程式 1+a+b+c=-5, 3+2a+b=0, 27-6a+b=0 か、連立方程式を解く過程で間違ったのでしょう。 チェックしてみてください。 (1)が間違っていれば、間違いの結果が(2),(3)に波及します。 (1)からもう一度やってみてください。 それで、分からないところが出たら、補足で質問してください。
関連するQ&A
- 数II・微分積分
解答がないので自分の答えがあっているかどうか確かめたいです。 【問1】 (1)f(x)＝x＾3－3x＾2＋x＋1のとき、xの値が－1から2まで変化するとf(x)の平均変化率はアである。 また、f´(x)＝イx＾ウ－エx＋1であるから、f´(3)＝オカである。 (2)曲線y＝－x＾3＋2x＋1上の点(0,1)における接線の方程式はy＝キx＋1である。 (3)関数f(x)＝x＾3－6x＾2＋9x－1はx＝クで極大値ケをとり、x＝コで極小値サシをとる。 (4)∫(3x＾2－4x＋1)dx＝x＾ス－セx＾ソ＋x＋C(Cは積分定数)であり、∫{1→4}(x＾2＋2x－7)dx＝タチである。 【問2】 曲線C：y＝x＾3＋ax＾2＋bx＋cと放物線y＝－x＾2＋x＋1が点(1,1)において共通な接線をもつとき、b＝アイa－ウ,c＝a＋エである。 更に、曲線Cがx＝2で直線y＝2x＋dに接するときa＝オカ,b＝キ,c＝ク,d＝ケコである。 【問3】 a,bをa＜bを満たす正の整数とし、関数f(x)＝2x＾3＋3(a－b)x＾2－6abxを考える。 このとき、f(x)はx＝アイで極大値a＾ウ＋エa＾オ b,x＝カで極小値－b＾キ－クab＾ケをとる。 更に、極大値と極小値の差が27になるときa＝コ,b＝サである。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学II 微分・積分 解答解説宜しくお願いします
関数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c が, 次の3つの条件を満たす時, a, b, c を決定して関数y=f(x)のグラフの概形を描け. (A) 方程式f(x)=0の正の解はx=1だけである. (B) f(x)はx=1で極値をとる. (C) 2直線 x=0, y=0及び曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積は3/4である.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分
2次関数f(x)=ax^2＋bx＋cは, f'(3)=1……(1),f(4)=7……(2) を満たすものとする。 (1)よりb=1-6aと表せ,(2)を用いるとc=8a＋3と表せる。 曲線y-f(x)は,aの値にかかわらず,点(4,7)以外の定点A(2,5)を通る。 さらに, ∫1~3f(x)dx=31/3が成り立つものとする。 a=1/2,b=-2,c=7と定める。 (添付画像参照してください) セソを求めたいのですが,重解なので1/2∫[1/3(x-3)]0~3で計算したのですが求める答えになりません。 シスは5/2でセソは9/2です。 シスを求める方法を教えて下さい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分積分問題の必要十分条件について
a,b,cを定数とし、f(x)=∫[x,-1] at^2＋bt＋c dx とおく。関数f(x)がx=1で極値4をとるという。 (1) a,bをcを用いて表せ。 (2) 曲線y=f(x)上の点(-1,f(-1))におけるこの曲線の接線が点(0,8)を通るとき、定数a,b,cの値を求めよ。 (3) (2)のとき、関数f(x)を求めよ。 解答(1)a=6-3c b=2c-6 (2)a=3,b=-4,c=1 (3)f(x)=x^3-2x^2＋x＋4 解答そのものに疑問はないのですが、(1)を求める際、a=6-3cは関数f(1)=4から導けるものとして、「f(x)が x=aで極値を取る⇒f'(a)=0」という必要条件のみを用いてf'(1)=0よりa＋b＋c=0を導き出し、b=2c-6という解答を出しているのですが、なぜ十分条件の確認なしでb=2c-6が答えとして決定できるのでしょうか？ また解答説明では十分条件の確認を(3)をとく時点でしています。(2)についてもも十分条件の確認は必要ではないのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分です。教えてください
次の２つの曲線がともに点（１，２）を通り、しかも、この点で共通の接線をもつような定数a,b,c,を求めよ。y=x^3+ax,y=x^2+bx+c という問題で自分の回答が y=x^3+axとy=x^2+bx+cをそれぞれ微分してx=1における接線の方程式は y=(3+a)x-1-a,y=(2+b)x-b、これら共に傾きｙ切片が等しいので (3+a)＝(2+b) -1-a=-b この連立方程式を解くのですが、aとbをだそうとしても打ち消しあって出ないんですけど、どうしてそうなうるのですか？教えてください。接線の方程式 y=(3+a)x-1-aとy=(2+b)x-b、は共に同じ接線なのにどうしてa,bはでないのですか？ 回答ではｙ座標が等しいを用いて解いていました。答えはa=1b=2c=-1です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分
(1)0≦x≦1で定義された連続関数f(x)が0≦f(x)≦1を満たすとする。このときf(c)=cを満たす定数c(0＜c＜1)が少なくとも1つ存在することを示せ。 (2)y=logxとy=ax^2(a≠0)のグラフが共有点をもち、かつその点で共有接線をもつものとする。このとき、aの値と共通接線の方程式を求めよ。 (3)曲線√x+√y=√a上の点(x0,y0)における接線がx軸、y軸と交わる点をそれぞれ(α,0),(0,β)とするとき、和α＋βの値を求めよ。 (1)と(3)はどのようにして示す(解答する)かがわからず、(2)はlogx=ax^2の解き方がわかりません。どうか、皆さんの力を貸してください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数II・微分積分
【問１】曲線C：y=x^３-３xと点A(１,b)がある。このとき、Aを通りCに相異なる３本の接線が引けるbの値の範囲を求めよ。 C上の点(a,a^３-３a)における接線の方程式はy=ア(a^イ-ウ)x-エa^オである。 また、この接線が点(１,b)を通るのはb=カキa^ク+ケa^コ-サが成り立つときである。 したがって、点(１,b)からCに相異なる３本の接線が引けるbの値の範囲はaについての方程式b=カキa^ク+ケa^コ-サが異なる３つの実数解をもつ条件と同じ値であるからシス＜b＜セソである。 【問2】 (1)f(x)=ax＋bについて∫(1→0)f(x)dx=∫(1→0)xf(x)dx=1が成り立つとき、a,bの値を求めよ。 (2)2次関数f(x)について、f(1)=0、f´(1)=2、∫(3→1)f(x)dx=12が成り立つとき、このf(x)を求めよ。 (3)∫(1→-1)3(ax+4-a)^2dxを最小にするaの値と、その最小値を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
恥ずかしい・・・計算ミスをしていました。ありがとうございます＾＾