微分積分

質問

Ｒ^2全体で定義された関数　f(x,y)=(2x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)　が極値を取る点を求め、極大極小を判定せよ

この問題がわかりません
教えて下さい　お願いします

回答No.1

yyssaa

＞∂f/∂xをfx、∂(∂f/∂x)/∂yをfxy、等々と書くと
fx=4xe^-(x^2+y^2)-2x(2x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)
=2x(-2x^2-y^2+2)e^-(x^2+y^2)
fxx=(4-4x^2-2y^2)e^-(x^2+y^2)-8x^2e^-(x^2+y^2)-2x^2(4-4x^2-2y^2)e^-(x^2+y^2)
=[8x^4-20x^2+4x^2y^2-2y^2+4]e^-(x^2+y^2)
fxy=-4xye^-(x^2+y^2)-2xy(4-4x^2-2y^2)e^-(x^2+y^2)
=4x(2x^2y-3y+y^3)e^-(x^2+y^2)
fy=2ye^-(x^2+y^2)-2y(2x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)
=2y(-2x^2-y^2+1)e^-(x^2+y^2)
fyy=(-4x^2-6y^2+2)e^-(x^2+y^2)-2y(-4x^2y-2y^3+2y)e^-(x^2+y^2)
=(-4x^2+8x^2y^2+4y^4-10y^2+2)e^-(x^2+y^2)
fx(a,b)=fy(a,b)=0を満たす停留点(a,b)を求める。
fx(a,b)=2a(-2a^2-b^2+2)e^-(a^2+b^2)=0を満たす(a,b)は
(0,b)及び-2a^2-b^2+2=0から2a^2+b^2=2を満たす(a,b)
fy(a,b)=2b(-2a^2-b^2+1)e^-(a^2+b^2)=0を満たす(a,b)は
(a,0)及び-2a^2-b^2+1=0から2a^2+b^2=1を満たす(a,b)
2a^2+b^2=2と2a^2+b^2=1を満たす(a,b)は存在しないから
fx(a,b)=fy(a,b)=0を満たす(a,b)は、(0,b)かつ(a,0)を
満たす(0,0)のみであり、f(x,y)の停留点は(0,0)のみとなる。
この停留点が極値か否かを判定する。
fxx(0,0)fyy(0,0)-fxy(0,0)^2=4*2-0=8＞0だから点(0,0)は
極値であり、fxx(0,0)=4＞0だから点(0,0)は極小値となる。