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ｎ次微分に関する問題

f(x)=Arctanx（タンジェントｘの逆関数） (1)nが自然数のとき、(1+x^2)f(x)^(n+1)+2nxf(x)^(n)+n(n-1)f(x)^n-1=0 (2)nが奇数のとき、f(0)^(n)=(-1)^n-1/2・(n-1)!　　 nが偶数のとき、f(0)^(n)=0を示せ。 (1)は解けたんですが、(2)が解けません。おそらくは(1)を使って解くんだと思います。よろしくお願いします。 ｎ次導関数の表記の仕方がわからなかったので、f(x)のｎ次導関数をf(x)^(n)と表記させてもらいました。

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回答No.1

(1)が正しいとすればx=0を入れて f(0)=>fなどとすれば f^(n+1)+n(n-1)f^(n-1)=0 すなわち f^(n+1)/f^(n-1)=-n(n-1) nを１つずらして (1) f^(n)/f^(n-2)=-(n-1)(n-2) nを２つずらして (2) f^(n-2)/f^(n-4)=-(n-3)(n-4) nを２つずらして ・・・・ (1)と(2)を順次掛けていけば解が得られそうです。 nが偶数の時は最後のf^(0)=fとなって０かな。 基数の時は最後のf^(1)=f'となって１かな。 睡眠時間の限界をこえたので無責任ですが これに．．．て

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