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不等式の帰納法&極限 ?? の問題
関数f(x)=4x-x^2に対し数列{a_n}を a_1=c、a_n+1=√f(a_n)(n=1,2,3・・・) で与える。ただしcは0<c<2を満たす定数である (1)a_n<2、a_n<a_n+1(n=1,2,3・・・) (2)2-a_n+1<{(2-c)/2}(2-a_n)(n=1,2,3・・・)を示せ。 (3)lim(n→∞)a_nを求めよ この問題に取り組んでいます (1)ができなくて困っています。 帰納法を使うのではないかと思い、n=1のときに成り立ち、n=kのときにa_k<2が成り立つと仮定したとことまではいいのですが、n=k+1のときにa_n+1=√f(a_n)の式と仮定をなんとか使って示したいのですがa_k+1<2√2としか変形できませんでした。何が悪いのでしょうか?それとも帰納法ではないのでしょうか? a_n<a_n+1も同じようなところで変形ができなくて困っています。 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします
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- endlessriver
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お礼
回答ありがとうございます。 とてもわかりやすく丁寧に書いていただきすぐに理解できました