- ベストアンサー
極限値の問題です
次の極限値を求めよ。 lim[n→∞] 1/n {(1+1/n)^2 + (1+2/n)^2 + ・・・ + (1+n/n)^2} Sn=1/n {(1+1/n)^2 + (1+2/n)^2 +・・・+(1+n/n)^2}とおき、 Sn=1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2 ここまでやり方として正しいでしょうか? また、この解法でやっていくと 与式=lim[n→∞]Sn =lim[n→∞]1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2 となりf(x)が定まりますが、f(x)が何になるのか分からないです。 f(x)=(1+x)^2 でいいのでしょうか? お願いします。
- kon1n
- お礼率100% (2/2)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>Sn=1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2 >lim[n→∞]1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2 普通、こういった書き方はしません。上限、下限を入れ替えて下さい。 Sn=1/nΣ[k=1,n](1+k/n)^2 lim[n→∞]1/nΣ[k=1,n](1+k/n)^2 極限はf(x)=(1+x)^2の x=0～1までの積分の定義式そのものですから、 与式=∫[0,1] (1+x)^2 dx=[(1/3)(1+x)^3] [0,1] =(1/3)(8-1)=7/3 となるでしょう。
その他の回答 (1)
>>f(x)が定まりますが、f(x)が何になるのか分からないです。 f(x) は区分求積法のf(x) のことでしょうか。そうだとしたら、 f(x) = (1 + x)^2 で問題ないと思います。
お礼
>f(x) は区分求積法のf(x) のことでしょうか。 その通りです、言葉足らずでした申し訳ないです。 ありがとうございました。
関連するQ&A
- 極限値を求める問題です
よろしくお願いします。 以下の問題を解いていたのですが、いまいち自信がありません。 また、(3)の問題の解き方がどうしてもわかりません。 わかる方、ご指導のほど、よろしくお願いします。 【問題】 ()内の関数の定積分と関連されることにより、次の極限値を求めよ、 (1) lim[n→∞] {(1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+n)} これを適用する→(1/1+x) 自分の答え =lim[n→∞] (1/n){(1/(1+1/n) + 1/(1+2/n) + … + 1/(1+n/n)} f(x)=1/(1+x), 1/n=hとおくと、 lim [n→0] h(f(h)+f(2h)+…+f(nh)) ∫[0→1] 1/(1+x) dx = [log(x+1)](0→1) =log(2)-log(1)=log(2/1)=log(2) (2) lim[n→∞] {(n/n^2 + n/(n^2+1^2)+…+n/(n^2+(n-1)^2)} これを適用する→(1/(1+x^2)) 自分の答え 各項を、n/(n^2+k^2)=1/(1+(k/n)^2)*1/n (k=0,1,…,(n-1))と表す。 次に、n→∞の極限に移行して、 lim [n→∞] Σ 1/(1+(k/n)^2)*1/n =∫[0→1] 1/(1+x^2) dx = [arctan(x)](0→1) =[arctan(1)]-[arctan(0)]=π/4-0=π/4 (3) lim[n→∞] 1/(n^(a+1)) Σ[k=1→n] k^a これを適用する→(x^a (a>0)) 自分の答え ??? 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値の問題です。次の２問が分かりません。どなたかよろしくお願いします
極限値の問題です。次の２問が分かりません。どなたかよろしくお願いします。 問題 次の極限値を求めよ。 （１） lim[x→∞] 1/n{(1/n)^3＋(2/n)^3＋・・・＋(n/n)^3} （２） lim[x→∞] 1/n(e^-1/n＋e^-2/n＋・・・＋e^-n/n)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値問題
極限値問題 lim[x→∞]（1+(1/x)）^x=eを使って、lim[x→-∞]（1+(1/x)）^x=e を示せという問題なのですが、どのように解けば良いのでしょうか？ 以前、lim[n→0]（1+n）^(1/n)=eの証明について質問させて頂きました。 証明は理解できました。 その時、lim[n→-0]（1+n）^(1/n)=eも成り立つと言うご回答を頂きました。 (1/x)=nとおけば、lim[n→-0]（1+n）^(1/n)と出来きます。 lim[n→+0]（1+n）^(1/n)=lim[n→-0]（1+n）^(1/n)がなぜ成り立つか証明 できませんので、教えて下さい。 感覚的には分かるのですが、式変形などで成り立つことが証明できないものでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限計算について
極限の計算において x→aのときにf(x)→A, g(x)→Bであるとする。 このとき f(x)g(x)→AB が成り立つ。 とあったのですが、そうだとしたら次の計算は成り立ちますか？ lim[n→∞]1/(2n)×1/nΣ[上:n 下:k=1]{f(k/n)}^2 lim[n→∞]1/(2n)×∫(0→1){f(x)}^2dx＝０ まず２段目の式についてはΣの方だけ区分求積しておいて1/(2n)だけ極限を計算していないのですが、こういう書き方はしてもよいのでしょうか？かといって 1/∞×∫(0→1){f(x)}^2dx＝０ として∞なんかを計算式に書くのもダメですよね？ まあこれは書き方の問題に過ぎないのですが... そこで極限においてですが、「和」も「差」も「積」も一つずつ別々に計算してそれを最後に足したり引いたりかけたりしてよいのでしょうか？例えば h(x)+I(x)+j(x)→α＋β＋γ（α,β,γはそれぞれの極限値とします） というのは成り立ちますか？もちろん足したり引いたりかけたりする項がn個の場合は成り立たないと思いますが。 あと上で書いたA,Bという極限値ですが有限値という制限がありました。当たり前だと思うのですが→０ももちろん有限値ですよね？ 参考書に書いてあるようなレベルの質問ですが、ちょっと自分としては曖昧な点があるので一度アドバイス頂いた方が良いと思い質問させていただきました。よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限です。pert２・・・・
数列sin(^n)θの極限をもとめよただし-π/2≦θ≦π/2。 第n項が次の式で表される数列の極限を調べよ。 {r^(2n)-2^(2n+1)}/{r^(2n)+4^n} {a^(n+1)+b^(n+1)}/{a^(n)+b^(n)} ただしa,b共に正の定数 次の無限級数の収束発散を調べなさい。 ∞ Σ2/{√(n+2)+√n} n=1 |x|＜1/2のとき無限級数の和を求めよ。 1+3x+7x^2+15x^3+・・・・・+(2^(n)-1)x^(n-1)+・・・ lim[√{(1/x)+1}-√{(1/x)-1}] の極限値を求めよ。 x→+0 ｘ→∞のときf(x)=√(x^2 +1)-axが収束するような正の定数aの値とそのときの lim f(x)を求めよ x→∞ 以上です。おねがいします。 何度もごめんなさい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列の極限についての問題で・・・
いつもお世話になっています。今 “ 数列{a_n}に対して lim_(n→∞) a_{2n} = lim_(n→∞) a_{2n-1} = α なら lim_(n→∞) a_{n} = α を示せ ” という問題に取り組んでいるんですが、当たり前のような気がするだけで、どうやって示せばよいのか分かりません。 苦し紛れに lim_(n→∞) (a_{2n} - a_{2n-1}) = 0 と変形して、極限の定義通り ∀ε>0, ∃N; |a_{2n} - a_{2n-1}| < ε (n≧N) と書き換えてみました。最後の式には「おっ」と思ったんですが、それ以上はどうしようもありませんでした。 宜しければ、解法へのヒントなど頂けませんでしょうか。 お願いします<m(_ _)m>
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題です。
lim(n→∞){1/n+n/(n^2+1)+n/(n^2+2)+...+n/(n^2+(n-1)^2)}の極限を求める問題です。 lim(n→∞) (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2}となり、 lim(n→∞) (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2}[x=0→1-1/n]∫f(x)dx ≦ (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2} ≦ [x=1/n→1]∫f(x)dx +1/n 挟み撃ちの定理をつかって求め、答えはπ/4ということはわかったのですが、途中にでてくる両辺の積分の仕方がわかりません。 できるだけ詳しい途中式を書いていただけるとありがたいです。 最初から（lim(n→∞){1/n+n/(n^2+1)+n/(n^2+2)+...+n/(n^2+(n-1)^2)}から）答え合わせもかねてお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
訂正ありがとうございます。 答案までありがとうございました！