極限値の問題です

質問

次の極限値を求めよ。
lim[n→∞] 1/n {(1+1/n)^2 + (1+2/n)^2 + ・・・ + (1+n/n)^2}

Sn=1/n {(1+1/n)^2 + (1+2/n)^2 +・・・+(1+n/n)^2}とおき、　
Sn=1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2
ここまでやり方として正しいでしょうか?

また、この解法でやっていくと
与式=lim[n→∞]Sn
　　=lim[n→∞]1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2
となりf(x)が定まりますが、f(x)が何になるのか分からないです。
f(x)=(1+x)^2 でいいのでしょうか?
お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>Sn=1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2
>lim[n→∞]1/nΣ[n,k=1](1+k/n)^2
普通、こういった書き方はしません。上限、下限を入れ替えて下さい。
Sn=1/nΣ[k=1,n](1+k/n)^2
lim[n→∞]1/nΣ[k=1,n](1+k/n)^2

極限はf(x)=(1+x)^2の　x=0～1までの積分の定義式そのものですから、
与式=∫[0,1] (1+x)^2 dx=[(1/3)(1+x)^3] [0,1]
=(1/3)(8-1)=7/3
となるでしょう。

お礼

訂正ありがとうございます。
答案までありがとうございました！

回答No.1

noname#75273

>>f(x)が定まりますが、f(x)が何になるのか分からないです。
f(x) は区分求積法のf(x) のことでしょうか。そうだとしたら、
f(x) = (1 + x)^2 で問題ないと思います。

お礼

>f(x) は区分求積法のf(x) のことでしょうか。
その通りです、言葉足らずでした申し訳ないです。
ありがとうございました。