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極限計算について
極限の計算において x→aのときにf(x)→A, g(x)→Bであるとする。 このとき f(x)g(x)→AB が成り立つ。 とあったのですが、そうだとしたら次の計算は成り立ちますか？ lim[n→∞]1/(2n)×1/nΣ[上:n 下:k=1]{f(k/n)}^2 lim[n→∞]1/(2n)×∫(0→1){f(x)}^2dx＝０ まず２段目の式についてはΣの方だけ区分求積しておいて1/(2n)だけ極限を計算していないのですが、こういう書き方はしてもよいのでしょうか？かといって 1/∞×∫(0→1){f(x)}^2dx＝０ として∞なんかを計算式に書くのもダメですよね？ まあこれは書き方の問題に過ぎないのですが... そこで極限においてですが、「和」も「差」も「積」も一つずつ別々に計算してそれを最後に足したり引いたりかけたりしてよいのでしょうか？例えば h(x)+I(x)+j(x)→α＋β＋γ（α,β,γはそれぞれの極限値とします） というのは成り立ちますか？もちろん足したり引いたりかけたりする項がn個の場合は成り立たないと思いますが。 あと上で書いたA,Bという極限値ですが有限値という制限がありました。当たり前だと思うのですが→０ももちろん有限値ですよね？ 参考書に書いてあるようなレベルの質問ですが、ちょっと自分としては曖昧な点があるので一度アドバイス頂いた方が良いと思い質問させていただきました。よろしくお願いします！
- rockman9
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極限値関係の定理で lim[n→∞]a_n=α lim[n→∞]b_n=β のとき lim[n→∞](a_n+b_n)=α+β lim[n→∞](a_n*b_n)=α*β lim[n→∞](a_n/b_n)=α/β (ただしβ≠0) lim[n→∞](c*a_n)=c*α (cは定数) というものがあります 関数の極限に付いても lim[n→∞]x_n=a の時 lim[x→a]f(x)=lim[n→∞]f(x_n) とかけるので同じような事が成り立ちます 質問の内容はこれに尽きる気がします 具体的に書くと lim[n→∞]{(1/(2n))*(1/nΣ[_k=1,^n]{f(k/n)}^2)} ={lim[n→∞](1/(2n))}*{lim[n→∞](1/nΣ[_k=1,^n]{f(k/n)}^2)} =0*∫(0→1){f(x)}^2dx=0 が正しい書き方です もし、上の定理が本当に成り立つのかを 聞きたいのなら、ε-δ論法などで証明出来ます
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