数列の極限についての問題で・・・

質問

いつもお世話になっています。今
“ 数列{a_n}に対して lim_(n→∞) a_{2n} = lim_(n→∞) a_{2n-1} = α なら lim_(n→∞) a_{n} = α を示せ ”
という問題に取り組んでいるんですが、当たり前のような気がするだけで、どうやって示せばよいのか分かりません。

苦し紛れに
lim_(n→∞) (a_{2n} - a_{2n-1}) = 0
と変形して、極限の定義通り
∀ε>0, ∃N; |a_{2n} - a_{2n-1}| < ε (n≧N)
と書き換えてみました。最後の式には「おっ」と思ったんですが、それ以上はどうしようもありませんでした。

宜しければ、解法へのヒントなど頂けませんでしょうか。
お願いします<m(_ _)m>

回答No.4

uzumakipan · ベストアンサー

こんにちは。＃２です。質問者さんは数列{a_n}がαに収束することの定義

∀ε>0, ∃N; |a_{n} - α| < ε (n≧N)

は存知あげていらっしゃるようですが、この定義の意味をきちんと理解されていないように感じます。この定義の意味を理解しなければ、＃２の説明も理解できません。是非、解析学の教科書をもう一度開いてこの定義の意味を学んでください。私も数学科の1年生だったころはこの定義の意味が理解できず、かなり苦労しました。一生懸命に考えてこの定義の意味が理解できたとき、道が開けました。

＃２を簡単に説明しますと、条件より

{a_n}の部分列である偶数列{a_2n}は収束する（ある番号Ｎ_1より先のすべてのa_2nはαのε近傍に入る）

同様に
{a_n}の部分列である奇数列{a_{2n+1}}は収束する（ある番号Ｎ_2より先のすべてのa_{2n+1}はαのε近傍に入る）

よって、N_1とN_2の番号の大きい方の番号の2倍の番号をNとすれば、Nよりも先のすべてのa_nはαのε近傍に入る。

です。なぜ、N_1とN_2の番号の大きい方の番号の2倍の番号をNとするかはそうしなければ、番号が合わないからです。たとえば、N_1=10 N_2=20として考えてください。このとき番号Nとして何を選ばなければいけないですか？

お礼

ご回答有り難うございます。

∀ε>0, ∃N; |a_{n} - α| < ε (n≧N)
この式はa_nとαの距離を任意に取ることができる＝幾らでも小さくできる、と言うことを示しているのだと理解しています。もっと深く学んで、もっと適切に理解できることを目指します。

さて、質問の内容についてですが、a_"n"だから２倍しないと番号が合わないわけですね。やっと意味が分かりました。

本当はもう少しだけ聞きたいことが合ったんですが、不快な気持ちをされている方がおられるため、これであきらめます。

わざわざお付き合い頂きありがとうございました。

回答No.5

koko_u_

念のために。ANo.4 氏が詳しく説明しておられますが、読むべきところは

>私も数学科の1年生だったころはこの定義の意味が理解できず、かなり苦労しました。
>一生懸命に考えてこの定義の意味が理解できたとき、道が開けました。

の部分だけです。

お礼

ご回答有り難うございます。

拙いながらも他分野を学んでおる立場で、“神髄に達する”という感覚は理解しておるつもりですが、数学については初学者である私に、それを求められても困ります。

回答No.3

koko_u_

>という風なものを指す言葉ですよね？
そうだとも言えるし、そのような曖昧な理解では到底証明に辿り着くことができないとも言えます。

>もう少し踏み込んだヒントを頂けませんでしょうか？
わたしがアドバイスできるのはココまで。
後は自分で解くしかないと考えて下さい。私が解いても意味はありません。

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。何を示すべきかをきちんと把握するのが大事です。この問題のゴールは

∀ε>0, ∃N; |a_n - α| < ε (n≧N)

ですよね。このゴールにたどり着くために、与えられた条件を使います。

問題の条件より、任意のε>0　に対して自然数N_1,N_2が存在して

|a_{2n} - α| < ε (n≧N_1)

|a_{2n+1} - α| < ε (n≧N_2)

ここで、N = 2×max{N_1,N_2} とすれば

|a_n - α| < ε (n≧N)

となる。

お礼

ご回答有り難うございます。

６行目までは分かるんですが、max{N_1, N_2}を２倍する辺りから、なぜそのようなことが起こるのか分かりにくいです^^;　これは、私の使っている参考書の問題なんですが、一つ上に「部分列」というものが話題にのぼっています。ひょっとして「部分列」に関係ある問題でしょうか？

丁寧にご回答していただいたにもかかわらず、私が不甲斐ないばかりに、申し訳ありません。

回答No.1

koko_u_

極限がαとわかっているのだから、ε-δの論法に乗せるだけ。

お礼

こんなにも早くご回答いただき有り難うございます。

「ε-δの論法」というのは例えば質問のところで書いたような
「∀ε>0, ∃N; |a_{2n} - a_{2n-1}| < ε (n≧N)」
という風なものを指す言葉ですよね？　それで仮定の極限と結論の極限を書き下して見たんですが、やっぱり何をして良いやら分かりません^^;

もう少し踏み込んだヒントを頂けませんでしょうか？　わがまま言って申し訳ありません・・・