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漸化式と極限の問題です。

漸化式と極限の問題です。 a(1)=1,a(2)=7/3,3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0によって定義される数列{a(n)}について、lim(n→∞)a(n)を求めよ。 という問題です。 a(n+1)-a(n)=4/3^nというところまでは求められたのですがここからどうしたらよいか分かりません。教えて頂けたら嬉しいです。宜しくお願いします。

noname#180825

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  • R_Earl
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> a(n+1)-a(n)=4/3^nというところまでは求められたのですがここからどうしたらよいか分かりません。 その形は単なる階差数列の漸化式です。 a(n+1) = a(n) + b(n)またはa(n+1) - a(n) = b(n)の形をした漸化式は、 a(n)の階差数列がb(n)であることを意味します。 「a(n+1) - a(n) = 4/3^n」は 「a(n)の階差数列はb(n) = 4/3^n」であることを意味します。 よって階差数列の公式a(n) = a(1) + Σb(k)に当てはめればよいです (Σの範囲はk = 1 ~ n-1)。

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質問者からのお礼

階差数列だったのですか… 気づきませんでした(汗) 詳しい回答、大変ありがとうございました^^

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  • 回答No.3
noname#185706

a(n)-a(n-1)=4/3^(n-1) a(n-1)-a(n-2)=4/3^(n-2) ・・・ a(3)-a(2)=4/3^2 a(2)-a(1)=4/3 これらを辺々加えると、左辺は簡単になり、右辺は等比数列の和になります。 これから a(n)=3-2/3^(n-1)  が得られ、・・・

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質問者からのお礼

なるほど! 回答ありがとうございました^^

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

b(n) = a(n) / 3^n と置いて、b(n) の線型漸化式を解く。

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質問者からのお礼

理解しました! 回答ありがとうございました^^

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