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漸化式の極限

次の条件で定義される数列{An}の一般項を求め、{An}の極限を求めよ。(書き方がよく分からないので、ちっちゃくしたに書く文字の前には _ をつけておきました) A_1=1 A_(n+1)=(1/3)A_(n)+2  ←問題 で、A_(n+1) -3=(1/3)(A_(n) -3) ←この式の意味が分かりません・・・。

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>A_(n+1)=(1/3)A_(n)+2 このタイプの漸化式を解く定石は次の形式の変形して A_(n+1)+Q=P{A_(n)+Q} B_n=A_n +Qとおき公比Pの等比数列{B_n}に持ち込むことです。 B_n=PB_(n-1)=P^2・B_(n-2)=・・・=P^(n-1)・B_1 元に戻して A_n+Q=P^(n-1)・(A_1+Q) A_n=P^(n-1)・A_1+Q{P^(n-1)-1} という風に求められるわけです。 >A_(n+1) -3=(1/3)(A_(n) -3) という形式に変形できることは分かりますね。 上式に適用すれば P=1/3,Q=-3 となり、 A_n=(1/3)^(n-1)・A_1-3{(1/3)^(n-1)-1} A_1=1を代入すれば良いですね。

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質問者からのお礼

ありがとうございました!最近、特性方程式って言う技も習得しました。1つの問題でもいろいろアプローチの仕方があっていいですね!

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  • 回答No.3

#2です。 A_nの極限について補充です。 A_(n+1)+Q=P{A_(n)+Q} A_n=P^(n-1)・A_1+Q{P^(n-1)-1} で|P|<1ですから P^(n-1)→0(n→∞)ですので A_n→-Q(=3)(n→∞) ですね。

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質問者からのお礼

お礼遅れましたが・・・。助かりました!←テストで。 おかげで漸化式のところはできました!まさにこんな感じのやつでした(^^; ありがとうございました!

  • 回答No.1
noname#17965

A_(n+1)=(1/3)A_(n)+2 これを変形すると、実は2個目の式 A_(n+1)-3=(1/3){A_(n)-3} になります。ここで B_(n)=A_(n)-3とおくと、与式は B_(n+1)=1/3*B_(n) B_(1)=A_(1)-3=-2 つまり初項-2、公比1/3の等比数列になります。 後はいもづる式に判るでしょう。 この問題で重要なのは2個目の式がいかにして思いつくか、です。 A_(n+1)+α=1/3*{A_(n)+α} とおいて、問題の式と上式が同じになるようにαを求めるのです。α=-3ですね。この方法を覚えておけばこの種の問題はOKです。問題の式を変形して見覚えのある式にするのです。

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質問者からのお礼

ありがとうございました!助かりました!!

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