漸化式の問題です。

質問

次の問題の解答と解説をお願いします。

次の条件で定義される数列{a[n]}の一般項を求めよ。

(1)a[1]=5, a[n+1]=8a[n]^2　(n=1,2,3,……)

(2)a[1]=1, a[2]=2, a[n+2]+3a[n+1]-4a[n]=0　(n=1,2,3,……)

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(2)特性方程式 (t^2)+3t-4=0 を立てます。
(t+4)(t-1)=0 より、t=-4, 1

よって、漸化式 a[n+2]+3a[n+1]-4a[n]=0 は、
下記の2とおりで表わすことができます。
1)a[n+2]-a[n+1]=-4(a[n+1]-a[n])
2)a[n+2]+4a[n+1]=a[n+1]+4a[n]

1)のケース
数列{a[n+1]-a[n]}は、初項1、公比-4の等比数列です。
よって、a[n+1]-a[n]=(-4)^(n-1) …… (A)

2)のケース
数列{a[n+1]+4a[n]}は、初項6、公比1の等比数列です。
よって、a[n+1]+4a[n]=6 …… (B)

上記(B)から(A)を辺々引くと、
5a[n]=6-(-4)^(n-1)
となり、
a[n]=(6-(-4)^(n-1))/5
となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.6

asuncion

＞＞対数で計算すれば
＞自分でもやってみます。
できました。

回答No.5

asuncion

＞対数で計算すれば

なるほど。
自分でもやってみます。

回答No.4

kabaokaba

#3>
それさえわかれば帰納法でOKですよね

対数で計算すれば
a[n] = 40^(2^(n-1))/8
の形ででてきます．
同じ式です．

回答No.3

asuncion

(1)手計算で
a[n]=5(40^(2^(n-1)-1))
であることはわかったのですが、理論が組み立てられません。(^^;)

考えてみますが、できないかもしれません。

回答No.2

kabaokaba

(1)
a[n]>0は明らかなので
log(a[n+1]) = 3log(2) + 2log(a[n])
b[n]=log(a[n])
とおけば
b[n+1]=3log(2)+2b[n] b[1]=log(5)
ここまでわかれば
あとは普通にとけばいい

お礼

ありがとうございました。