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数B 数列 漸化式
次のように定められた数列の一般項a(n)を求めよ。a1=3,a(n+1)=a(n)+n+1 (n=1,2,3••••••) この問題の解き方が分からないので教えて下さい！！よろしくお願いします！
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a(1) = 3 a(2) = a(1) + 1 + 1 = 5 a(3) = a(2) + 2 + 1 = 8 a(4) = a(3) + 3 + 1 = 12 a(5) = a(4) + 4 + 1 = 17 a(6) = a(5) + 5 + 1 = 23 ... この辺でやめておきます。 さて、数列3, 5, 8, 12, 17, 23, ... の隣同士の差をとると、 2, 3, 4, 5, 6, ... となります。 元の漸化式に戻って考えると、 a(n+1) - a(n) = n + 1 と変形できますので、 {a(n+1) - a(n)}という数列を{b(n)}とすると、 その一般項は、b(n) = n + 1 よって、n ≧ 2のとき、 a(n) = a(1) + Σ(k=1～n-1)(k + 1) = 3 + n(n - 1)/2 + n - 1 = 3 + (n - 1)(n + 2)/2 = (n^2 + n + 4)/2 この式は、n = 1のとき、a(1) = (1 + 1 + 4)/2 = 3 となり、条件を満たしているから、 すべての自然数nについて、a(n) = (n^2 + n + 4)/2 としてよい。 「階差数列」というものについて研究してみましょう。
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- gohtraw
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a1=3 a2=a1+２ a3=a2+３ a4=a3+４ ・・・・・ an=a(n-1)+n これらを辺々加え、等号の左右で共通するもの（例えばa1とかa2とか）を 消去していくと左辺はanだけが残り、右辺は ３＋Σｋ （ｋの範囲は２からｎ） が残ります。 Σｋ （ｋの範囲は３からｎ） ＝（ｎ＋２）（ｎ－１）／２ なので、 an=３＋（ｎ＋２）（ｎ－１）／２ ＝（ｎ＾２＋n－２＋６)／２ ＝（ｎ＾２＋ｎ＋４）／２
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お礼
とてもよく分かりました！！本当にありがとうございました！