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数B 漸化式

数列{a_n}をa_1=4、a_(n+1)=4-3/a_n で定め、 b_n=a_1・a_2……a_n、c_n=b_(n+1)-b_n とおく。 (1)数列{c_n}の一般項を求めよ。 (2)数列{b_n}の一般項を求めよ。 (3)数列{a_n}の一般項を求めよ。 この問題について回答よろしくおねがいします。

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noname#29493

(1) c_n=b_(n+1)-b_n=(a_1・a_2……a_n・a_n+1)-(a_1・a_2……a_n) =(a_1・a_2……a_n)(a_n+1-1) =(a_1・a_2……a_n){(4-3/a_n)-1} =3(a_1・a_2……a_n-1)(a_n-1) =3c_n-1 よってc_n=(3^n-1)c_1=(3^n-1)a_1・(a_2-1)=(3^n-1)・4・(3-3/4) =3^(n+1) (2) c_nがもとまったから階差数列利用してできるはず! (3) a_n=b_n/b_n-1 であるから、がんばれ!

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  • 回答No.2

(1)a(n+1)=4-3/a(n)より a(n+1)-1=3(a(n)-1)/a(n) (1) a(n+1)-3=a(n)-3/a(n)   (2) (1)/(2)より (a(n+1)-3)/(a(n+1)-1)=(1/3)(a(n)-3)/(a(n)-1) =(1/3)^n*(a(1)-3)/a(1)-1)=(1/3)^(n+1) これより a(n)=3[1-(1/3)^(n-1)]/[1-(1/3)^(n)] (2)b(n)=a(n)*a(n-1)*....*a(1)=8*3^(n-2)/[1-(1/3)^(n)] (3)c(n)=b(n)-b(n-1)はやさしい、ただし数字が面倒

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