数B 漸化式

質問

数列{a_n}をa_1=4、a_(n+1)=4-3/a_n で定め、
b_n=a_1・a_2……a_n、c_n=b_(n+1)-b_n とおく。
（１）数列{c_n}の一般項を求めよ。
（２）数列{b_n}の一般項を求めよ。
（３）数列{a_n}の一般項を求めよ。

この問題について回答よろしくおねがいします。

回答No.1

noname#29493 · ベストアンサー

(1)
c_n=b_(n+1)-b_n=(a_1・a_2……a_n・a_n＋1)-(a_1・a_2……a_n)
=(a_1・a_2……a_n)(a_n＋1-1)
=(a_1・a_2……a_n){(4-3/a_n)-1}
=3(a_1・a_2……a_n-1)(a_n-1)
=3c_n-1
よってc_n＝(3^n-1)c_1＝(3^n-1)a_1・(a_2-1)＝(3^n-1)・4・(3-3/4)
＝3^(n＋1)
(2)
c_nがもとまったから階差数列利用してできるはず！
(3)
a_n＝b_n/b_n-1
であるから、がんばれ！

回答No.2

spring135

(1)a(n+1)=4-3/a(n)より
a(n+1)-1=3(a(n)-1)/a(n) (1)
a(n+1)-3=a(n)-3/a(n)　　　(2)
(1)/(2)より
(a(n+1)-3)/(a(n+1)-1)=(1/3)(a(n)-3)/(a(n)-1)
=(1/3)^n*(a(1)-3)/a(1)-1)=(1/3)^(n+1)
これより
a(n)=3[1-(1/3)^(n-1)]/[1-(1/3)^(n)]

(2)b(n)=a(n)*a(n-1)*....*a(1)=8*3^(n-2)/[1-(1/3)^(n)]
(3)c(n)=b(n)-b(n-1)はやさしい、ただし数字が面倒