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数列 漸化式

A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1) という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1   となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか? 回答お願いいたします。

noname#91852

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漸化式を、別名、差分方程式と言いますが、 方程式が複数の解を持つことなど 珍しくもないハズです。 x~2=1 ⇔ x=±1 だって、そうです。 実際、質問の漸化式は、2 個どころではなく、 無数の解を持ちます。 任意の定数 C に対して、 A[n] = C*(2 の n-1 乗) -n-1 が解になります。 漸化式に、初期条件 A[1] = 1 を添えると、 初期値問題の解は、ひとつに定まります。 このとき、C = 3 が限定され、 C = 0 の場合にあたる B[n] はJ 解でなくなります。

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  • 回答No.6

no1 です。 あとから解法の意味がわかりました。 たいへん失礼しました。 BnをAnに代入してみると、 A(n+1)+(n+1)+1=2{A(n)+n+1} ですね。こうすれば、Anの一般項と(n+1)はなぜ同じ式にならないかという疑問は生じないと思うのですが。すこし疑問の核心からは外れているかもしれません。

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  • 回答No.5
  • kenjoko
  • ベストアンサー率20% (23/110)

no.4です  訂正があります  A(n) = 2n^2-3n+2 となった。これは間違い 皆さんと同じ  A(n) = 3*2^(n-1)-n-1 となりました。 漸化式に代入するときミスリました。ごめん!

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  • 回答No.4
  • kenjoko
  • ベストアンサー率20% (23/110)

 A(n+1)=2A(n)+n    初項A(1)=1 という数列がある。  この数列の一般項A(n)を求めよ・・・という問いに対し 特に回答の仕方に指定が無ければ、私なら次のように解きます。 初項A(1)=1が与えられているので上の漸化式に暫時代入して A(5,6)くらいまで求める。これからB(n)が割と容易に求められる。 後は 公式 A(n) = A(1) + [1,n-1]ΣB(k) を用いる。 ちなみに A(n) = 2n^2-3n+2 となった。

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  • 回答No.2
  • f272
  • ベストアンサー率45% (5082/11292)

A(n)とB(n)で共通しているのは、同じ2項間漸化式を満たすということですが、その初項は異なります。そう考えるとA(n)とB(n)が異なることは当然だと思えませんか?

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  • 回答No.1

上記の解法がよくわからないので、質問のお答えにはなりませんが、 わたしならこう解きます。参考にしてください。 A(n+2)=2A(n+1)+n+1 A(n+1)=2A(n)+n 上から下を引きます。 A(n+2)-A(n+1)=2{A(n+1)-A(n)}+1 ここで  A(n+1)ーA(n)=Bn  とおけば あとは普通の等比数列型の解法に持ち込めると思うのですが。

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