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漸化式の特性方程式について

 数列において、第n項をA(n)と表記いたします。  漸化式A(n+1)=2A(n)+1・・・(1)かつA(1)=3を満たす数列のA(n)を求めなさい。という問題について、p=2p+1(←特性方程式)を解き、そのpの値を{A(n+1)-p}=2{A(n)-p}に代入することで、数列A(n)-pは公費2の等比数列で・・・と解きますよね?なぜ特性方程式では、A(n+1)、A(n)ともにpとしてよいのでしょうか?どなたかご存知の方お見えでしたらよろしくお願いいたします。  また、その答えとして、(1)式を{A(n+1)-p}=r{A(n)-p}・・・(2)の形にできるとして導くという方法が有名だと思いますが、なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか?よろしくお願いいたします。

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漸化式の特性方程式の話は、発想(と言うか、考え方の根本)から出発するとわかりやすいです。 1.出発点:漸化式の一般項を見つけたい。でも、知っている公式(等差数列、等比数列)は使えない。だから、何とか知っている公式を使えるように変形したい。 ↓ 2.願望:元の漸化式A(n+1)=rA(n)+qという式を変形して、ひょっとして(もしかして)、A(n+1)-p = r{A(n)-p}という形にすることができれば(こうなるようなpを見つけることができれば)、等比数列の公式が使えるので嬉しい。 ↓ 3.式変形:A(n+1)-p = r{A(n)-p}を変形すると、 A(n+1)=rA(n)+p-rpとなる。これと、元の漸化式を比較すると、p-rp=qである。これを変形すると、p=rp+qとなり、まさに、元の漸化式で、A(n+1)=p, A(n)=pというふうに置いた式に等しい! ↓ 4.結論:元の漸化式A(n+1)=rA(n)+qにおいて、A(n+1)=p, A(n)=pというふうに置いた式を作り、pの値を求めると、A(n+1)-p = r{A(n)-p}となるので、等比数列の公式が使える。 以上。 ------------------------------------------- >>その答えとして、(1)式を{A(n+1)-p}=r{A(n)-p}・・・(2)の形にできるとして導くという方法が有名だと思いますが、なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか? →等比数列の形に直せるように、(そういう意図を持って)pの値を決めたからです。 >>なぜ特性方程式では、A(n+1)、A(n)ともにpとしてよいのでしょうか? A(n+1),A(n)をともにpと置いた式を作って、それによってpの値を求めると、元の漸化式を等比数列の公式が使える形に変形できるからです。

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  • 回答No.6
  • guuman
  • ベストアンサー率30% (100/331)

間違いの修正 a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=2 の特性方程式は p^2-p+2=0 です これの紺はp=2とp=-1です よって a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=0 の一般解は a[n]=A・2^n+B・(-1)^n です ところでa[n]=1は a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=2 のひとつの解であるから a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=2 の一般解は a[n]=A・2^n+B・(-1)^n+1 である ちなみに特性方程式は元の漸化式を斉次化した式においてa[n]=p^nとして求めるのです <--ここ(非斉次化でない) 基本的に特性方程式の求め方が間違っています

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  • 回答No.4
  • guuman
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下の例は特性方程式が重婚を持つので少し難しかったかもしれません もっと簡単な例を示すと a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=2 の特性方程式は p^2-p+2=0 です これの紺はp=2とp=-1です よって a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=0 の一般解は a[n]=A・2^n+B・(-1)^n です ところでa[n]=1は a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=2 のひとつの解であるから a[n+2]-a[n+1]+2・a[n]=2 の一般解は a[n]=A・2^n+B・(-1)^n+1 である ちなみに特性方程式は元の漸化式を非斉次化した式においてa[n]=p^nとして求めるのです 基本的に特性方程式の求め方が間違っています

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  • 回答No.3
  • guuman
  • ベストアンサー率30% (100/331)

書き間違い A(n+1)-2・A(n)=1 の特性方程式は p-2=0 です 特性方程式を使った解き方は以下のとおり 特性方程式の解が2なので A(n+1)-2・A(n)=0 の一般解は C・2^n である ところで-1は A(n+1)-2・A(n)=1 の1つの解であるから A(n+1)-2・A(n)=1 の一般解は C・2^n-1となる これが正式な特性方程式を使った解き方です 元の式が簡単すぎてわからないと思いますが 例えば特性方程式を使えば A(n+3)+3・A(n+2)+3・A(n+1)+A(n)=0 <--ここ などもあっという間に解くことができます この一般解は A(n)=(-1)^n・(A・n^2+B・n+C) です

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  • 回答No.2
  • guuman
  • ベストアンサー率30% (100/331)

A(n+1)-2・A(n)=1 の特性方程式は p-2=0 です 特性方程式を使った解き方は以下のとおり 特性方程式の解が2なので A(n+1)-2・A(n)=0 の一般解は C・2^n である ところで-1は A(n+1)-2・A(n)=1 の1つの解であるから A(n+1)-2・A(n)=1 の一般解は C・2^n-1となる これが正式な特性方程式を使った解き方です 元の式が簡単すぎてわからないと思いますが 例えば特性方程式を使えば A(n+3)-3・A(n+2)+3・A(n+1)-A(n)=0 などもあっという間に解くことができます この一般解は A(n)=(-1)^n・(A・n^2+B・n+C) です

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  • 回答No.1

>なぜ特性方程式では、A(n+1)、A(n)ともにpとしてよいのでしょうか? ともにpにしてもよいのではなく、式(2)の形に変形するために、A(n+1)とA(n)を同じものとみなすために、同じ文字に置き換えているのです。 >なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか? A(n+1)=2A(n)+1は、元の項を2倍して1を足していますよね。 この「2倍」というのがあるので、掛け算する等比数列の要素が入っているとわかるからです。 掛け算のほうが足し算より、すぐに大きな値になることから、足し算の影響は少ないので、近似的に+1を無視して、A(n+1)=2A(n)とみなせるため、近似的に等比数列と考えられます。

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