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漸化式の特性方程式

いくつか質問があります。わかるものだけでもいいので回答よろしくお願いします。 ・「特性方程式」の解釈は、「特性を表す方程式」で合ってますか? ・なぜa_(n+1)=3a_n+2の特性方程式がc=3c+2なのですか? ・なぜ2a_(n+2)=3a_(n+1)-a_nの特性方程式が2x^2=3x-1なのですか? ・なぜ特性方程式の解である平衡値を漸化式の両辺から引けば、二項漸化式を等比数列型に変形できるのですか?

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なぜ、a(n+1) = 3 a(n) + 2 の特性方程式が c = 3c + 2 なのか、そして、なぜ、特性方程式の解である平衡値を漸化式の両辺から引けば、二項漸化式を等比数列型に変形できるのか・・・。ご質問の順番が実は全て逆のような気がします。つまり、漸化式を等比数列型に変形するために作られたのが特性方程式であり、そういう方程式を作ってみたらそれが c = 3c + 2 だったということです。そのあたりが分かっていますと、その特性方程式の解(平衡値)を引くと等比数列型になるのは当然のことです。 一般的に、 a(n+1) = p a(n) + q ・・・(1) という漸化式が与えられたとき、これを a(n+1) - α = β ( a(n) - α ) ・・・(2) という等比数列に変形することができれば、a(n) の一般項を求める事ができますね。この α, β を求めたい、というところが出発点です。 (2) を展開すると、 a(n+1)= β a(n) - αβ + α これを (1) と比べれば、 β = p - αβ + α = q ですから、α は、- px + x = q ( ⇔ x = px + q )という方程式の解であることが分かります。こうして作られた方程式が、質問者さんがおっしゃる特性方程式です。ですから、この方程式の解を漸化式の両辺から引けば、それが等比数列型になるのは当たり前ですよね。α が平衡値であることは、(1)という漸化式で与えられる数列を平衡値だけ平行移動したものが等比数列になるということであって、ことさら重大な意味は無いように思われます(私が良く知らないだけかもしれませんが)。実際に、他の形の漸化式であれば、その特性方程式の解は平衡値でも何でもありませんので。 2a_(n+2)=3a_(n+1)-a_n の方ですが、こちらは、 p a(n+2) = q a(n+1) + r a(n) ・・・ (3) という形の漸化式を a(n+2) - α a(n+1) = β (a(n+1) - α a(n)) ・・・(4) の形に変形して、一般項 a(n) を求めようとするところが出発点となります。 やはり、(4) を展開して (3) と比べると a(n+2) = (α + β) a(n+1) - αβ a(n) a(n+2) = (q/p) a(n+1) + (r/p) a(n) が同じ数列ですから、 α + β = q/p -αβ = r/p より、αとβは p x^2 - q x - r = 0 ( ⇔ p x^2 = qx + r )の解であることが分かります。このようにして作られたのが特性方程式です。 二項漸化式のときは単なる1次方程式(平衡値を求める方程式)だったのに、こいつは似て異なるものですね。 以上まとめますと、特性方程式というものが、漸化式を等比数列型に変形するための定数を求めるために作り出された方程式なのであって、ですから、その解を使って等比数列型に変形できるのは当然ですし、何故特性方程式がそのような形をしているのかは、上述した通りです。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。わかりやすく説明してもらえて、理解できたように思います。ありがとうございました。

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  • 回答No.2

行列と固有値といった側面からみればスッキリすると思います。

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質問者からのお礼

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