- ベストアンサー
漸化式…特性方程式
a_n+1=pa_n+qb_n b_n+1=ra_n+sb_n の連立漸化式は、特性方程式 a_n+1+αb_n+1=β(a_n+αb_n) を解く事で、一般項を見つける事が出来る。 この事を示すらしいのですが、特性方程式とは何かが分かるだけで、 まったく方針が立ちません。 誰か教えてください
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- totoro7683
- ベストアンサー率60% (37/61)
- totoro7683
- ベストアンサー率60% (37/61)
関連するQ&A
- 3項間漸化式について
3項間漸化式を解くときには、特性方程式を用いるのが定石だと思いますが、いろんな参考書を見ると、pa(n+2)=qa(n+1)+ra(n) (pqr≠0)となっています。一回、q=0のとき、特性方程式を用いたのですが、(たぶん)漸化式の条件を満たしていました。q≠0の必要性ってあるんですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式における特性方程式
はじめまして。 現在高校三年生で数学を勉強している文系です。 漸化式の分野で、「特性方程式」というものが出てきました。 参考書や検索して出たページ、過去の質問を参照しましたが、 途中までは理解できるものの、最後のところが理解できません。 というのは、 a_(n+1) = p(a_n) + q …(1) という漸化式が与えられた時、 a_(n+1) - α = β(a_n - α)…(2) と変形できればこの数列は等比数列としてあらわすことができ、 a_nの一般項も求められる。 (2)を展開して係数比較をしていくと P=β , -αβ+α=q より αは x=px+q の解であることがわかる。 これを特性方程式と呼ぶ ここまでは理解できました。(もしおかしいところがあったら指摘してください) しかしその後の このαの解を(1)の漸化式の両辺から引くと… という個所から先が理解できません。 たしかに、(2)の a_(n+1) - α = β(a_n - α) という式でαに解を入れれば一般項を求められるのはわかりますが (1)の式 a_(n+1) = p(a_n) + q の両辺からαを引くと、 a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α で(2)の式とは異なってしまい、等比数列と見ることはできなく なってしまいませんか? もしかしたらすごく単純なところを見逃しているのかもしれませんが、 この質問についての回答、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式の特性方程式について
数列において、第n項をA(n)と表記いたします。 漸化式A(n+1)=2A(n)+1・・・(1)かつA(1)=3を満たす数列のA(n)を求めなさい。という問題について、p=2p+1(←特性方程式)を解き、そのpの値を{A(n+1)-p}=2{A(n)-p}に代入することで、数列A(n)-pは公費2の等比数列で・・・と解きますよね?なぜ特性方程式では、A(n+1)、A(n)ともにpとしてよいのでしょうか?どなたかご存知の方お見えでしたらよろしくお願いいたします。 また、その答えとして、(1)式を{A(n+1)-p}=r{A(n)-p}・・・(2)の形にできるとして導くという方法が有名だと思いますが、なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか?よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3項間漸化式の解き方(特性方程式が虚数解)
皆様、こんにちは。 特性方程式が虚数解を持つときの漸化式の解き方を教えてください。 今、 3a[n+2]+2a[n+1]+4a[n]=0 a[1]=2 a[2]=3 という漸化式を解いているのですが、a[n]の一般項を実数で出すことができません。 どなたか教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 分数型漸化式の一般項
a_{n+1}=ra_n+s/pa_n+q という形の漸化式で a_1=4 a_{n+1}=5a_n+3/a_n+3 特性方程式を使うと x=5x+3/x+3 x(x+3)=5x+3 x^2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x=3,-1 になって、これが重解になっていれば、何とかできるのですが・・・・ 一般項を導き出す考え方がおかしいのでしょうか? 明日定期テストなので、早めに回答もらえると嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の漸化式a(n+1)=pa(n)+qでc=pc+qを特性方程式と呼んでいい?
「特性方程式」で検索したり、 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2371813 などをみて思うのですが、 数列の漸化式 a(n+1)=pa(n)+q を解くために、準備として考える式 c=pc+q を特性方程式と呼んでいいのでしょうか? 検索したところ、そう呼んでいる人が多いです。 しかし、僕はそう呼びたくはありません。 もちろん、3項間漸化式a(n+2)+pa(n+1)+qa(n)=0で x^2+px+q=0を特性方程式と呼ぶのはいいです。 以前、高校の参考書をたくさん比較したことがあります。 大手の数研出版などは、特性方程式と呼んでいなくて、小規模な出版社では特性方程式と書かれていた記憶があります。 c=pc+qを特性方程式と呼ぶのは、権威ある数学辞典などにも書かれているのでしょうか? それとも、高校のそれも学校外の場所でよく使われる俗語なのでしょうか? 外国ではどうなのでしょうか? 言葉というのは、時々、間違った意味で世間に広まってしまい、それが辞書的にも認知されることがあります。「ホームページ」とか「ハッカー」とか。 c=pc+qを特性方程式と呼ぶのもそういった部類でしょうか? たとえば、みなさんが高校生に教える指導的立場にあったとして、c=pc+qを特性方程式と教えていいのでしょうか? ちなみに、教科書にはそうは絶対にかかれていないと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか隣接3項間漸化式について教えてください。
中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1 n>=1 ・・・(2) An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1 n>=1 となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は An=-1×3^n-1+3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Lenovoノートブックでキーボードの一部が使えなくなるトラブルが発生しました。本文では、具体的なトラブルの状況や過去の経験、診断結果について説明されています。
- UBS外付けキーボードでは問題なく入力できるため、現在はその使用を続けています。しかし、問題のキーボードでの入力ができないため、困っています。
- Lenovoノートブックのキーボードトラブルに詳しい方に、解決方法をご教示いただけないでしょうか。対処法を教えていただけると助かります。
お礼
ありがとうございます。 おかげでよく分かりました。