• ベストアンサー
  • 困ってます

だれか隣接3項間漸化式について教えてください。

中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。  漸化式  A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An    n>=1 ・・・(1)  を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。  そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの  漸化式を満たす数列があるのか、ということです。  結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を  公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の  ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局    An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1    n>=1  ・・・(2)    An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1    n>=1  ・・・(3)  という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、    An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1     n>=1  となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は    An=-1×3^n-1+3×2^n-1     n>=1 ・・・(4)  となりました。  これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの  証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を  満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが  一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。  (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが)  このあたりの事情がよく判りません。  どなたか解説して戴けないでしょうか。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数561
  • ありがとう数4

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

> そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの漸化式を満たす数列があるのか  ある漸化式といくつかの初項が与えられていて、それらを使って具体的に、数列Aを順番に計算していくことができるとします。  このとき、同じ漸化式と初項を満たし、かつAとは異なる数列Zというものが存在しないのは、明らかでしょう。  ご質問の場合なら、AとZの初項は一致するので、A[1]=Z[1], A[2]=Z[2]である。以後、(厳密さをお望みなら数学的帰納法を使って)A[n+2] = Z[n+2] を証明するのは簡単です。  さて、漸化式を特性方程式に帰着するための議論の中で、ご質問と強く関連するポイントと思われる所に★を付けてみました。  まず、   A[n+2]=aA[n+1]+bA[n] …(1) を   A[n+2]+αA[n+1] = β(A[n+1]+αA[n]) …(2) と表すことができるか。  実は、(1)は必ず(2)の形に表せる(後述●[1])。そこで、   B[n] = A[n+1]+αA[n] …(3) という数列を考えれば、もとの漸化式(1)は2項間漸化式   B[n+1] = βB[n] …(4) と表せるから、B[n]をβとnといくつかの定数だけで表したもの、つまり一般項が分かる。  これを使って、(3)の2項間漸化式   A[n+1] = -αA[n]+B[n] (B[n]は分かっている) …(3') を解けば、A[n]をαとβとnといくつかの定数だけで表したもの、つまり一般項が分かる。  しかし、実は、(1)を(2)の形に表すと、 Case 1:   A[n+2]+αA[n+1] = α(A[n+1]+αA[n]) と表せる場合と、 Case 2:   A[n+2]+αA[n+1] = β(A[n+1]+αA[n]) および   A[n+2]+βA[n+1] = α(A[n+1]+βA[n]) の二通り の表し方がある場合がある。(後述●[2])---★(二通りの(2)式を実際に並べてみせたのが、ご質問中にある(2)(3)式でしょう。) Case2の場合、二通り表し方のそれぞれについて上記のやり方を適用すると、互いに異なる二通りのB((3)式)を経由して、Aの一般項が得られることになる。しかし、二通りのやり方を使ったのにも関わらず(この回答の冒頭に述べた通り)Aは結局一通りの答になるはずである。  そこで、これら二通りの表し方が両方同時に成立つこと、という条件を利用して(Bを直接経由せず、上記(3)(4)(3')式を使わずに)Aの一般項に至ることができる。---★(これが、ご質問中の(4)式でしょう)  つまり、その部分は「特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの証明」をやっている所ではないんです。ではその話はどこに行ったか。それは、後述する議論の中で解決されています。 ---------------------------- ●[1]: (1)を(2)と表すことは、いつでもできる。  (2)を展開して整理すれば   A[n+2] = (α+β)A[n+1]+(αβ)A[n] これを(1)と比較すると   a = α+β   b = αβ  …(5) という連立方程式が得られる。言い換えれば、連立方程式(5)に (i) 解(α, β)があれば、その解を使って(1)を(2)の形に表すことができる。 (ii)もし解がいくつもあれば、それらを使って、それぞれのやり方で(1)を(2)の形に表すことができる。 (iii)もし解がなければ、(1)を(2)の形に表すことは不可能である。  さて、実は、(5)には必ず解があり、その解は、   x^2+ax+b=0 …(6) の二つの解p,qを使って   α=p, β=q  …(7)   α=q, β=p  …(8) と表せる。また、これら以外には(5)の解はない(後述●[3])。 ●[2]:  以上から、p=qの場合には丁度1通り、p≠qの場合には丁度2通りのやり方で、(1)は(2)の形に表せる。  (6)の解がp=q(重解)である場合、(1)は   A[n+2]+pA[n+1] = p(A[n+1]+pA[n]) と表せる。  また、p≠qである場合、(1)は   A[n+2]+pA[n+1] = q(A[n+1]+pA[n]) と表せるし、   A[n+2]+qA[n+1] = p(A[n+1]+qA[n]) とも表せる。 ------------- ●[3]: (5)には必ず解があり、その解は高々2通りである。 (5)には必ず解がある。  二次方程式   x^2 + ax + b = 0  …(6) には必ず二つの解があり、他には解がないことが分かっている。それらは複素数かもしれないし、二つの解が同じ(重解)であるかも知れないけれども、ともあれそれらをp, qとすれば、方程式(6)は   (x-p)(x-q)=0 と表せる。これを展開すると、   x^2 + (p+q)x + pq = 0 であるから、(5)と比較すれば   a = p+q   b = pq という関係を満たしている。これを(4)と比べてみると、   α=p, β=q  …(7) は(4)の解であると分かる。また、   α=q, β=p  …(8) も(4)の解であると分かる。だから(4)には確かに必ず解がある。  また、(5)にはこれら以外に解はない。  なぜなら、連立方程式(5)に、仮に(7),(8)以外の解があったとする。その解を   α=r, β=s とすると   (x-r)(x-s)=0 を展開すれば(6)が得られる。ということは、r,sは(6)の解でなくてはならない。しかし、二次方程式(6)の解はp,qだけである事が分かっている。 ★(「特性方程式の解以外にないのかどうか」という話はこの段階で片づいたのです。)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。お礼が遅くなりましたのも、あまりに丁寧に解説戴いたのでプリントアウトして通勤電車のなかで1行1行噛み砕いて理解していったためです。 数学の先生か、大学で数学を専攻されているのですか? 人に教えるのは、その何倍も理解が深くないと出来ないことなので、よくよくのことかと存じます。 あと少しで漸化式のところが終わり、つぎの数学的帰納法についての章に移ります。 数学の本は手ごわいですが、その代り理解できたときの喜びも大きいのであきらめずに読み進めて まいります。

関連するQ&A

  • 漸化式の特性方程式について

     数列において、第n項をA(n)と表記いたします。  漸化式A(n+1)=2A(n)+1・・・(1)かつA(1)=3を満たす数列のA(n)を求めなさい。という問題について、p=2p+1(←特性方程式)を解き、そのpの値を{A(n+1)-p}=2{A(n)-p}に代入することで、数列A(n)-pは公費2の等比数列で・・・と解きますよね?なぜ特性方程式では、A(n+1)、A(n)ともにpとしてよいのでしょうか?どなたかご存知の方お見えでしたらよろしくお願いいたします。  また、その答えとして、(1)式を{A(n+1)-p}=r{A(n)-p}・・・(2)の形にできるとして導くという方法が有名だと思いますが、なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか?よろしくお願いいたします。

  • 漸化式の特性方程式

    いくつか質問があります。わかるものだけでもいいので回答よろしくお願いします。 ・「特性方程式」の解釈は、「特性を表す方程式」で合ってますか? ・なぜa_(n+1)=3a_n+2の特性方程式がc=3c+2なのですか? ・なぜ2a_(n+2)=3a_(n+1)-a_nの特性方程式が2x^2=3x-1なのですか? ・なぜ特性方程式の解である平衡値を漸化式の両辺から引けば、二項漸化式を等比数列型に変形できるのですか?

  • だれか漸化式について教えてください。

    もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。  漸化式のところでつまずいて前に進めません。  どなたか教えてもらえないでしょうか。  -------------------  初項がA1、An+1=PAn+Q n>1 P、Qは定数  の漸化式で確認しておきましょう。  An+1-α=P(An-α) つまり An+1=PAn-Pα+α  と与えられた漸化式       An+1=PAn+Q  を見て、定数項を比べると   Q=-Pα+α=α(1-P)  となり、この式から       α=Q/(1-P)・・・・・(1)  とすればよいことが判ります。このとき数列{An-α}は  An+1-α=P(An-α)より、公比Pの等比数列となり、その  初項は   A1-α=A1-Q/(1-P)・・・・・・・(2)  なので   An-Q/(1-P)=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗・・・・(3)  よって   An=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗+Q/(1-P)・・・・・(4)    と一般項が求まります。  -------------------  数列{An-α}の公比はPになることは直感的に判るのですが  初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが  最後に求まったのはAnの一般項でした。  それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果  です。  ここでの漸化式はAn+1-α=P(An-α)の形式に持ち込めたら  公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項  が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ  つかめません。  解説のほどよろしくお願いいたします。    

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

等比数列以外にも、もちろん解はあります。 貴方は、特性方程式を使って、既に 2のn+1乗 = 5(2のn乗) - 6(2のn-1乗) …(@1) 3のn+1乗 = 5(3のn乗) - 6(3のn-1乗) …(@2) を見つけた訳ですが、未定係数 a, b を置き、 @1 の両辺を a 倍、@2 の両辺を b 倍して 左辺同士右辺同士を足したら、どうなりますか? A[n+2] = 5A[n+1] - 6A[n] ただし A[n] = a(2のn-1乗) + b(3のn-1乗) …(@3) となりますね。 質問文中の(2)(3)から(4)への流れは、 大事なことを見失いがちな書き方だと思います。 替りに、(@1)(@2)から(@3)へで考えてみて下さい。 (@3)式で a, b の値をいろいろ変えると、 A[1], A[2] を好きな値にすることができます。 つまり、任意の初期値に対する漸化式の解が、 (@3)で表せるということです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。 いまひとつ消化不良を起こしているのですが 仰られている重要なこととは A[n+2] = 5A[n+1] - 6A[n] という式の 形こそが重要だと云う意味でしょうか。 頑固な石頭なので間違っていたら お許しください。

  • 回答No.1

結局、特性方程式が理解できてないのでしょう。 むしろ特性方程式なんて持ち出さずに素直に考えたほうがいいでしょう。 漸化式 An+2=5An+1-6An を An+2-(α+β)An+1+αβAn=0   (0) と書いた場合 An+2-αAn+1=β(An+1-αAn) (1) と書き直せることはわかりますか。 その場合nをひとつづつ下げていって An+2-αAn+1=β^n(A2-αA1)    (2) (1)と同様に An+2-βAn+1=α(An+1-βAn)   (3) よって An+2-βAn+1=α^n(A2-βA1) (4) (2)-(4)より (β-α)An+1=(β^n-α^n)A2-(β^nα-α^nβ)A1=β^n(A2-αA1)-α^n(A2-βA1) nをひとつづらして (β-α)An=(A2-αA1)β^(n-1)-(A2-βA1)α^(n-1) ここから質問の中にある式(4)が出てきますが 大事なことは α≠β ということです。 もし α=β のときは実は面倒な話になります。 式(0)のようなα、βは α+β=5 αβ=6 から求められます。 2根α、β を有する方程式は x^2-(α+β)x+αβ=0 であり、これが特性方程式になりますが こんな言葉を持ち出さなくても漸化式の一般項を求めることは可能です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。 とくとご回答拝読させていただきました。 通勤電車のなかでプリントアウトしたご回答の裏紙で 手計算して一瞬納得したかに思えましたが、小生の 石頭はそれでもなお納まらず、当日だったか翌日 だったか帰宅後、PCで実験しました。 spring135さまのベキ乗の記号を見てひょっとして と思いましたが、はたしてエクセルで“^”を試して みると計算できたではないですか。 勇んで早速数学実験をすることにしました。 (数学に実験は無いかとも思われますが) a=2 b=8 p=4 q=2 と設定すると α=3.4142 β=0.5858 となり、これを漸化式に 代入すると有効数字5桁まで一致するa[n+1]が 得られました。 これでさすがの小生の石頭も納得せざるを得ません でした。 2の(n-1)乗だけで成立するのに3の(n-1)でも成立し 何とそれらを足合わせた式に対しても成立する。 最初はその奇妙さに悶絶しましたが、いまになって a[n]の一般項を表す式を見るとα(およびβ)の(n-1)乗の 前に定数項があり、どうもこれらが0の場合だけを 確認して納得しようとしていたようです。 どうも石頭はどこかにぶつけて粉々にしないと納まらない ようで困ったものです。 これに懲りずに勉強していきます。 ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 漸化式における特性方程式

    はじめまして。 現在高校三年生で数学を勉強している文系です。 漸化式の分野で、「特性方程式」というものが出てきました。 参考書や検索して出たページ、過去の質問を参照しましたが、 途中までは理解できるものの、最後のところが理解できません。 というのは、 a_(n+1) = p(a_n) + q …(1) という漸化式が与えられた時、 a_(n+1) - α = β(a_n - α)…(2)  と変形できればこの数列は等比数列としてあらわすことができ、 a_nの一般項も求められる。 (2)を展開して係数比較をしていくと P=β , -αβ+α=q より αは x=px+q の解であることがわかる。 これを特性方程式と呼ぶ ここまでは理解できました。(もしおかしいところがあったら指摘してください) しかしその後の このαの解を(1)の漸化式の両辺から引くと… という個所から先が理解できません。 たしかに、(2)の a_(n+1) - α = β(a_n - α) という式でαに解を入れれば一般項を求められるのはわかりますが (1)の式 a_(n+1) = p(a_n) + q の両辺からαを引くと、 a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α で(2)の式とは異なってしまい、等比数列と見ることはできなく なってしまいませんか? もしかしたらすごく単純なところを見逃しているのかもしれませんが、 この質問についての回答、よろしくお願いします。

  • 隣接3項間の漸化式

    隣接3項間の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ (1)a1=1,a2=2,a(n+2)+4(an+1)-5an=0(括弧の部分は添え字です。以下括弧は省略します) 指針 隣接3項間の漸化式→まず、an+2をx^2,an+1をx,anを1とおいたxの2次方程式(特性方程式を解く。その2解をα、βとするとan+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α(an+1-βan) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 (1)できる方程式の解はx=1、ー5→解に1を含むから、漸化式はan+2-an+1=-5(an+1-an)と変形され、階差数列を利用することで解決 教えてほしいところ ・なぜ、an+2をx^2,an+1をx,anを1とおいたxの2次方程式(特性方程式を解くと、an+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α(an+1-βan)を満たすα、βが求まるんですか?? ・α=1,β=ー5として an+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α(an+1-βan)のどちらを利用しても同じ答えが出るのはなぜですか???

  • だれか漸化式について教えてください(第二段)

    簡単の為以下の例を採りあげます。    An+1=2An-1 ・・・・・(1)  A1=2、n>=1   (1)式は    An+1-1= 2(An-1)・・・・・(2)  と変形できるので数列{An-1}は公比2の等比数列で  あることが判ります。  {An-1}の初項はA1-1=2-1=1  したがって数列{An-1}の一般項は   An-1=1・2の(n-1)乗 ・・・・・(3)    を満たし、一般項Anは   An=2の(n-1)乗+1・・・・・(4)  となります。  ------------------  読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。   疑問1.(2)式は“An+1-1”が公費2の等比数列である        ことを示しているのではないか?        どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい        ので“An+1-1”としたほうがよいと思うのです。   疑問2. 数列{An-1}の初項は1なので(3)式が成り立つと        なっていますが、nに1、2、3、・・・と代入して        “An-1”を計算していきました。すると        1、2、4、8、・・・となりますした。        公式An=nの(n-1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数        (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた        のに突然等比数列になっています。        それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。        スッキリ納得できる方法はないでしょうか。  

  • 数学B、数列についての質問です

    数列の一般項を求めるパターン、例えば特性方程式やズラして引くなど いろいろありますが、このような問題もパターンでしょうか? 【問題】 数列{An}は A1=6 A(n+1)=2An-3n+1 (n=1,2,3…) (1)Bn=An-3n-2(n=1,2,3…)で定められる数列{Bn}が等比数列であることを示せ (2){An}の一般項をもとめよ An=2^(n-1)+3n+2 となりますが A(n+1)=2An-3n+1 のように 漸化式に『数列』と『n』が混在している時 この問題では Bn=An-3n-2 として考える誘導がついていましたが どうしてこのような数列を考えたのでしょうか? これはたまたま上手くいくからなのでしょうか? それとも何か理由があるのでしょうか?

  • 特性方程式の意味

    2または3項間漸化式を解くときに特性方程式を作りますよね。あれは単に、「2または3項間漸化式から簡単な等比数列を作ろうとしたら、たまたまこうした方法が出てきた。これを特性方程式と呼ぼう。」みたいなかんじで捉えてよいのでしょうか?まだ高2なんでそのレベルでお願いします。

  • 漸化式(隣接2項間)・a_n+1=pa_n+q

    漸化式(隣接2項間)の問題・a_n+1=pa_n+q 隣接2項間の漸化式の問題で 例)α=-1より、a_(n+1)+1=3(a_n+1) これがなぜ「数列(a_n+1)が、初項a_1+1=2,公比3の等比数列であることを表している」のでしょうか? どなたかわかりやすくお願いします。

  • 数列 (漸化式)

    A[1]=1 A[n+1]=4A[n]+2^n (n=1,2,・・・) {A[n]}の一般項を求めたいのですが 両辺2^nで割って、B[n]=A[n]/2^(n-1)とおくと、 B[n]+1=2(B[n]+1)とおけるから特性方程式より、B[n]が2^n -1と求められました その後はA[n]=・・・ どうすればいいのでしょうか? 等差数列なら A[1]+ΣB[k] k=1~(n-1)という感じで求められたのですが・・・ この数列は等差数列なのか、等比数列なのか・・・ 一見等差数列のようですが、+2^nがついていてこれも定数じゃないから、等差数列ともいえないな・・・と思いました。 階差数列?とはいえないかもしれないけど、B[n]が求まったらその後の段階としてどうすればいいのでしょうか、よろしくおねがいします。

  • 漸化式

    よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列{An}の一般項を求めよ。  A1=2、An+1=An/(1+An) (n=1、2、3、……) [解] 条件により A1=2/1、A2=2/3、A3=2/5、A4=2/7  よって、一般に         An=2/(2n-1) ・・・・・・(1)  となることが推測される。   一般項が(1)である数列{An}が、条件を満たすことを示す。  [1] (1)でn=1とおくと  A1=2  [2] (1)をAn/(1+An)に代入すると       An/(1+An)=2/(2n-1)÷{1+2/(2n-1)}              =2/(2n-1)÷(2n+1)/(2n-1)              =2/(2n+1)              =2/{2(n+1)-1}    よって、An+1=An/(1+An) が成り立つ。  [1]、[2]から、求める一般項は  An=2/(2n-1)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、A1は初項、Anは第n項、An+1は第n+1項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 [2]の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか?。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数nについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね?。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか?。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。

  • 数列 漸化式

    A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1) という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1   となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか? 回答お願いいたします。

  • 漸化式の…

    漸化式のα=pα+qを利用する方程式の教科書説明で 「p、qを定数、p≠1として漸化式が       an+1=pan+q で表されている時、この式がある値αを用いて       an+1-α=p(an-α) と変形できたとすると、数列{an-α}は公比pの等比数列になる。」ってところで、何故数列{an-α}なのでしょう?数列{an+1-α}ではないのでしょうか?