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だれか漸化式について教えてください(第二段)

簡単の為以下の例を採りあげます。    An+1=2An-1 ・・・・・(1)  A1=2、n>=1   (1)式は    An+1-1= 2(An-1)・・・・・(2)  と変形できるので数列{An-1}は公比2の等比数列で  あることが判ります。  {An-1}の初項はA1-1=2-1=1  したがって数列{An-1}の一般項は   An-1=1・2の(n-1)乗 ・・・・・(3)    を満たし、一般項Anは   An=2の(n-1)乗+1・・・・・(4)  となります。  ------------------  読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。   疑問1.(2)式は“An+1-1”が公費2の等比数列である        ことを示しているのではないか?        どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい        ので“An+1-1”としたほうがよいと思うのです。   疑問2. 数列{An-1}の初項は1なので(3)式が成り立つと        なっていますが、nに1、2、3、・・・と代入して        “An-1”を計算していきました。すると        1、2、4、8、・・・となりますした。        公式An=nの(n-1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数        (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた        のに突然等比数列になっています。        それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。        スッキリ納得できる方法はないでしょうか。  

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

疑問1 数列 a[n]-1 が等比数列であることと、 数列 a[n+1]-1 が等比数列であることは、同値です。 同じですから、何かと何かを混同する余地はなく、 紛らわしい点はありません。 疑問2 n = 1,2,3,4,… を代入したというのは、 貴方が勝手にそうしてみただけで、 a[n] がどんな数列かとは、何の関係もありません。 a[n]-1 自体は、1,2,4,8,… なのだから、 等比数列であることに疑問はないでしょう。 等差数列など、最初から出てきていないのです。 今回、貴方が引っ掛かっている点は、どちらも 疑問というより、情緒的なものです。 ヤミクモに不安感を持つ前に、教科書や参考書を 信じてみることも大切。 貴方よりは解っている人が、書いているんですよ。

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質問者からのお礼

お礼が遅くなり、ごめんなさい。あれから隣接3項間漸化式や2項間連立漸化式のところまで読み進み、さらに悶絶していたのですが、仕事が忙しくなり暫く忘れていました。 その間にも自宅のPCでエクセルを使って実験したり(数学で実験というものが有るのかどうか知りませんが)するうちに、何となく得心できるようになりました。 まずは通常の方程式のように左辺と右辺の関係を値のみに拘って考えていたのが理解の妨げに なっていたようです。 式の形式に注目しないとダメだったんですね。 それと漸化式が解けるのは殆どが等比数列に帰結できる場合だと本に書いてあり、実際には漸化式を解くこれという定跡は無いようなので恐怖心もやわらぎました。 また蛇足ですが、未知数ひとつに方程式ひとつで根(学生時代、根と教わったように思います)が 求まると固定観念があったのですが、(X-a)(Y-b)(Z-c)・・・=0の方程式がひとつあれば、幾らでも根がみつかることが判り仰天しました。 あと少し漸化式のところを読むと、数学的帰納法の章に移ります。数学の本は手ごわいですが あきらめずに挑戦します。ご回答ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • asuncion
  • ベストアンサー率32% (1760/5424)

>どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい >ので“An+1-1”としたほうがよいと思うのです。 そうすると、数列{A(n+1)-1}の初項A₂-1は、どうやって求めるのでしょうか。

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  • 回答No.1
noname#158987

疑問1.について 最終的には、 An= ・・・ という形で出すので、そういう表現で書かれたのでしょう。 疑問2.について おっしゃりたいことがよく分かっていないんですけど、 公式An=nの(n-1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数 (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた にある、 nの(n-1)乗 と 今回の答えの一部にある 2の(n-1)乗 は違うものだと思いますけど。 右辺の 変数である n がどう入り込んでいるかを よくご確認ください。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。 誤解の顛末は別のご回答者さまに宛てたお礼の内容のとおりです。 まったくお恥ずかしいかぎりです。 でもこれに懲りずまた行き詰まったら質問させていただきます。

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