• ベストアンサー
  • 困ってます

漸化式

よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列{An}の一般項を求めよ。  A1=2、An+1=An/(1+An) (n=1、2、3、……) [解] 条件により A1=2/1、A2=2/3、A3=2/5、A4=2/7  よって、一般に         An=2/(2n-1) ・・・・・・(1)  となることが推測される。   一般項が(1)である数列{An}が、条件を満たすことを示す。  [1] (1)でn=1とおくと  A1=2  [2] (1)をAn/(1+An)に代入すると       An/(1+An)=2/(2n-1)÷{1+2/(2n-1)}              =2/(2n-1)÷(2n+1)/(2n-1)              =2/(2n+1)              =2/{2(n+1)-1}    よって、An+1=An/(1+An) が成り立つ。  [1]、[2]から、求める一般項は  An=2/(2n-1)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、A1は初項、Anは第n項、An+1は第n+1項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 [2]の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか?。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数nについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね?。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか?。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数296
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • postro
  • ベストアンサー率43% (156/357)

これは数学的帰納法を使って証明しているのはわかってますよね? n=1 で成り立つ。 n=k で成り立つと仮定すると n=k+1 で成り立つ。 という手順をきちんと踏んでいるように見えないのでわかりにくいですね。 少し配慮に欠けた不親切な解答だと思います。(間違えているわけではない) ご自分できちんと手順を踏んだ解答を作ってみることをおすすめします。 で、この(不親切な)解答ですが、 >[2]の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか?。 結果的に An=2/(2n-1) ならば An/(1+An)=2/{2(n+1)-1} である。 という命題が真であると言っている。 もし、An=2/(2n-1) ならばという条件付きで、An/(1+An)=2/{2(n+1)-1} は正しいと言っているわけです。 それは推測した漸化式は(条件付きで)正しい。というわけです。 >また、(1)は推測したものだから、全ての自然数nについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね?。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか?。 漸化式に代入するのは自由です。代入できないものを代入したら間違えた結果が得られるだけのことです。 でもこの場合、代入することで An/(1+An)=2/{2(n+1)-1} という結果が出た。すなわち An=2/(2n-1) ならば An/(1+An)=2/{2(n+1)-1} である。 という結果が得られたわけです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。 実は、ひょっとすると数学的帰納法を利用してるのでは・・?と思ったのですが、やはりそうでしたか。それなら納得です。どうもありがとうございましたm(__)m。

関連するQ&A

  • だれか隣接3項間漸化式について教えてください。

    中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。  漸化式  A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An    n>=1 ・・・(1)  を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。  そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの  漸化式を満たす数列があるのか、ということです。  結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を  公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の  ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局    An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1    n>=1  ・・・(2)    An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1    n>=1  ・・・(3)  という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、    An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1     n>=1  となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は    An=-1×3^n-1+3×2^n-1     n>=1 ・・・(4)  となりました。  これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの  証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を  満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが  一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。  (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが)  このあたりの事情がよく判りません。  どなたか解説して戴けないでしょうか。

  • 漸化式

    まず、an,a1,an+1をうまく表記できなかったので大変見にくいかと思いますが、それぞれaの右下にあるものと思ってください。大変申し訳ありませんがご了承ください。 「数列{an}において、漸化式    a1=a、16a(n+1)=an+3(n≧1)を考える。 このとき、この漸化式は、16(an+1-1/5)=an-1/5 と変形できるので、一般項 an は、an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)」という解答で 16(an+1-1/5)=an-1/5という式から一般項 an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)の導き方がわかりません。教えてもらえないでしょうか。よろしくおねがいします。

  • 数IIBの数列の漸化式の問題です。

    数IIBの数列の漸化式の問題です。 本当に分からないので、基礎の知識から詳しく教えてもらえるとありがたいです・・・ 1. 数列1,1,4,1,4,9,1,4,9,16,1,4,9,16,25,・・・・・・がある。 この数列の第100項および初項から第100項までの和を求めよ。 2 数列1,2,3,・・・・・,nにおいて次の積の和を求めよ。 (1)異なる2つの項の積の和(n≧2) (2)互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和(n≧3) 3 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 (1)A1=1 An+1=9-2An (2)A1=1 An+1=4An+3 4 数列{An}の初項から第n項までの和SnがSn=n-Anであるとき、a1,a2,a3および{An}の一般項を求めよ。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>(1)は推測したものだから、全ての自然数nについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね? >なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか?。 前提として (*)漸化式「A1=2、An+1=An/(1+An) (n=1、2、3、……)」によって得られる数列が「存在しかつ唯一」である という事実に注目しましょう。 直感的には明らかですが、証明するには数学的帰納法が必要となるでしょう。 んで天下り的に与えられた Bn = 2/(2n-1) について、問題の漸化式を満足することが[1],[2]の計算によって確認できた。 結局 An の唯一性から An = Bn = 2/(2n-1) ということ。 大抵は(*)の議論を端折っていることを指摘されるのが面倒なので、An = 2/(2n-1) を数学的帰納法を用いて証明するのがよくある解答です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

どうもありがとうございました。

質問者からの補足

あと、お礼が遅くなり申し訳ありませんでしたm(__)m。

  • 回答No.3

若干補足させて頂きます。<釈迦に説法の感もありますが>。 #1 数学的帰納法について。 方法論で代表的なのが<演繹>と<帰納>です。厳密な話ではありませんが。 <演繹>とは比喩的に言うと<神の与えた体系>です。 覆ることはありません。数学/論理学のみが<演繹の体系>です。 <帰納>とは<経験的に構築された体系です。> 覆ることがあります。 <数学的帰納法>は<演繹の体系>なのです。数学は演繹なのに、何故かように紛らわしい用語を使うのかは、不明です。繰り返しますが【数学的】帰納であって、決して【経験的】帰納では御座いません。演繹/帰納なる用語を知るものは、紛らわしいと感じます。<信じる者は騙される>と言いますが、この件については<信じた方が得策>と思います。<数学的帰納法>は通常<ドミノ倒し・将棋倒し>で説明されます。 #2 正しいと思われる、記述をしてみます。弱冠表記も変えさせていただきます。 A(N)=2/(2N-1)  TARGETになる式を、前もって<ノートの隅にでも書いておくのがよいです> TARGETは、A(K+1)=2/(2(K+1)-1) です。 これが自然に導出されれば、ほぼ終了です。 やり直します 【A(1)=2、A(N+1)=A(N)/(1+A(N))のとき A(N)=2/(2N-1)を証明せよ】 [1] N=1のとき A(1)=2/(2*1-1)=2となり成立する。 [2] N=Kのとき成立を仮定する。    即 A(K)=2/(2K-1)を仮定する。    此れを漸化式に代入すると、 A(K+1) =A(K)/(1+A(K)) =【2/(2K-1)】/【1+(2/(2K-1))】 =【2/(2K-1)】/【(2K+1)/(2K-1)】 =【2/(2K-1)】【(2K-1)/(2K+1)】 =2/(2K+1) =2/(2K+2-2+1) =2/(2(K+1)-1)←←TARGETです。 すなわち N=K+1 のとき成立する。 [3] [1][2]より 全てのNについて、A(N)=2/(2N-1)。 #3 <数学的帰納法>の<騙しのテクニーク> 著名な例ですが、見破って下さい。 問題 沢山の黒石と白石がある、この中から任意のN個の石を取り出す。このとき、N個の石が同色である事を証明せよ。 [1] N=1 のとき 自明であり成立する。 [2] N=Kのとき成立を仮定する。    即 K個の石は同色と仮定する。    K+1個の石を取り出す。    これらを一列に並べる。    左からK個の石は同色である。    右からK個の石は同色である。    よって K+1個の石は同色である [3] [1][2]より全てのNについて成立し、同色である。 終わります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。どうもありがとうございましたm(__)m。

  • 回答No.1
  • guuman
  • ベストアンサー率30% (100/331)

1/A[n+1]=1+1/A[n]

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数学Bの漸化式です

    数学Bの漸化式です わからない問題があるのでわかりやすく教えて下さい。 [問題] ある数列{an}において、初項から第N項までの和をSnと表す。 この数列が関係式Sn=2an+Nを満たすとき、初項a1と一般式anを求めよ。 と言う問題です。よろしくお願いします。

  • だれか漸化式について教えてください。

    もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。  漸化式のところでつまずいて前に進めません。  どなたか教えてもらえないでしょうか。  -------------------  初項がA1、An+1=PAn+Q n>1 P、Qは定数  の漸化式で確認しておきましょう。  An+1-α=P(An-α) つまり An+1=PAn-Pα+α  と与えられた漸化式       An+1=PAn+Q  を見て、定数項を比べると   Q=-Pα+α=α(1-P)  となり、この式から       α=Q/(1-P)・・・・・(1)  とすればよいことが判ります。このとき数列{An-α}は  An+1-α=P(An-α)より、公比Pの等比数列となり、その  初項は   A1-α=A1-Q/(1-P)・・・・・・・(2)  なので   An-Q/(1-P)=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗・・・・(3)  よって   An=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗+Q/(1-P)・・・・・(4)    と一般項が求まります。  -------------------  数列{An-α}の公比はPになることは直感的に判るのですが  初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが  最後に求まったのはAnの一般項でした。  それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果  です。  ここでの漸化式はAn+1-α=P(An-α)の形式に持ち込めたら  公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項  が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ  つかめません。  解説のほどよろしくお願いいたします。    

  • 漸化式a(n+1)=p・a(n)+qの解き方

    お世話になっております。基本の漸化式について質問させて下さい。 教科書の基本例題を通して解説下さると有り難いです。 問「条件 A1=1、A(n+1)=3・A(n)+2 で定まる数列{An}の一般項を求めよ」 まず、漸化式についてA(n+1)=x、A(n)=x とおいて方程式x=3x+2 …(1)を立てる。 漸化式から(1)式を辺々引いて、A(n+1)-x=3{A(n)-x}…(2) (2)が成り立つことは、(1)の解x=-1を(2)に代入して展開すれば成り立つから、(1)(2)の意味はわかりました。 次に教科書の解では、A(n)-x=B(n)とおくとき、(2)式は、B(n+1)=3・B(n)…(3) と表せることが、唐突に書かれておりましてこの意味が中々解らずに困っておるのですが、色々探ってみたら (3)式が成り立つのは、与えられた漸化式から {An}=1,5,17,53,……であるから、{Bn}={An+1}=2,6,18,54,……であって、ここから例えば n=1のとき(2)式の左辺はA(2)-(-1)=A(2)+1=6。つまり{Bn}、(n=1,2,3……)に対して{B(n+1)}に等しいから、(3)式が成り立つということでしょうか。 また、この(回りくどい)質問が仮に正しいとして、この基本の漸化式を解く場合はいつもこの考え方(与えられた条件から元の数列の3~4項くらいは求めておく)で解くものでしょうか。 或いは上で書いた教科書の解のように、即座にB(n+1)=p・B(n)が成り立つものとして解くのでしょうか。 長ったらしい質問で申し訳ありませんが、もう少しで基本が掴めそうなので、駄目押しのご回答を下さい。宜しくお願いします。

  • 漸化式の問題です

    初項A1=√2 漸化式A(n+1)=√2+An(n=1,2,3・・・) 注:Anまで根号はいります で、定義される数列{An}について以下の問いにこたえよ。 1.log(A1&#65293;1)+log(A2&#65293;1)+log(A3&#65293;1)+log(A3+1)の値を求めよ。 2.すべての正の整数nについて、次の不等式が成り立つことを示せ   0<2-An<1/2の(n-1)乗 3.∞   Σlog(An-1)を求めよ   n=1 みにくいとおもいますが、至急回答をお願いします><

  • 隣接3項間の漸化式

    隣接3項間の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ (1)a1=1,a2=2,a(n+2)+4(an+1)-5an=0(括弧の部分は添え字です。以下括弧は省略します) 指針 隣接3項間の漸化式→まず、an+2をx^2,an+1をx,anを1とおいたxの2次方程式(特性方程式を解く。その2解をα、βとするとan+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α(an+1-βan) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 (1)できる方程式の解はx=1、ー5→解に1を含むから、漸化式はan+2-an+1=-5(an+1-an)と変形され、階差数列を利用することで解決 教えてほしいところ ・なぜ、an+2をx^2,an+1をx,anを1とおいたxの2次方程式(特性方程式を解くと、an+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α(an+1-βan)を満たすα、βが求まるんですか?? ・α=1,β=ー5として an+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α(an+1-βan)のどちらを利用しても同じ答えが出るのはなぜですか???

  • 【漸化式と数列】

    数列{an}は次の2つの条件(A)、(B)をみたす。 (A)an>0(n=1、2、3) (B)Σ(k=1~n)ak^2={Σ(k=1~n)ak}^2 (1)a1、a2、a3を求めよ。 (2)a(n+1)^2=a(n+1)+2Σ(k=1~n)akが成り立つことを証明せよ。 (3)数列{an}の一般項を求めよ。 答え (1)a1=1、a2=2、a3=3 (3)an=n 証明問題もありますが… 解ける方がいらっしゃいましたら、 解説お願いしますm(__)m

  • 数列の漸化式質問

    教科書で漸化式の記述です。 an+1=pan+qで与えられている数列の求め方 例 a1=3 an+1=3an-4 で定義されている数列を{an}とする 数列{an}は 3 , 5 , 11 , 29 , 83 ,・・・となりますよね。 この数列{an}の各項から2を引くとできる 数列を{an -2}は 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ・・・ となる。数列{an -2}は、初項1 公比3 の等差数列になっている。 数列{an}に対して、数列{an -2}の一般項は an -2=1×3^n-1となっています。 ここが何でn-1なのですか? {an}はn項あると思うのですが・・・ できるだけ詳しい解答お願いします。

  • 漸化式

    a1=1,a2=4,an+2=2anで定められる数列{an}の第8項と第9項を求めよ この問題で解説には 1,4,2,8,4,16,8,32,16 であるから a8=32 a9=16 とありました この数の並びから、一つ置きに2をかけていることはわかるのですが なぜそうなるのかわかりません この問題のタイトルには「漸化式」とありました 漸化式の問題は今までに解いたことがありますが an+1=5an+8 などの形しか見たことがありません an+2=2anのこれも漸化式なんでしょうか? わかる方がいれば回答をお願いします

  • 数列(一般項の帰納法による定義)

    お世話になっております。 数列の単元で、漸化式から帰納法によって一般項を定める問題例がありますが、これについて少し抽象的な質問をさせて下さい。 例題 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A[1]=2,A[n+1]=An/(1+An) (n=1,2,3,…) まず、実際に幾つかの値を得て、 A[1]=2, A[2]=2/3, A[3]=2/5,……となるから、 An=2/(2n-1)…(1) になると「推測」される。帰納法によってこれを証明する。以下略 ここで、質問です。 数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学び始めますが、このことと今、第n項が(1)になると「推測」されることとは何が違うのでしょうか。推測だけではだめだから、帰納法で全ての自然数nについて(1)が成り立つことを示すのがこの問題の目的になるのでしょうが、そうなると、全ての数列について帰納法によって証明しなければいけないような気になってくるのですが、どんなものなのでしょう。 また、この問題は漸化式を拠り所に第n項を類推しますが、この例題ならば具体的な値から規則性が簡単に見出せるから良いのですが、パッと見ただけじゃ規則性の見出しにくい数列は、漸化式を解いて得られた第n項について、やはり帰納法によって証明する必要があるという捉えになるのでしょうか。 以上になります。言葉足らずなところがあるかも知れません。また、筋違いな質問でしたらご容赦下さい。宜しくお願い致します。

  • だれか漸化式について教えてください(第二段)

    簡単の為以下の例を採りあげます。    An+1=2An&#65293;1 ・・・・・(1)  A1=2、n>=1   (1)式は    An+1&#65293;1= 2(An&#65293;1)・・・・・(2)  と変形できるので数列{An&#65293;1}は公比2の等比数列で  あることが判ります。  {An&#65293;1}の初項はA1&#65293;1=2&#65293;1=1  したがって数列{An&#65293;1}の一般項は   An&#65293;1=1・2の(n&#65293;1)乗 ・・・・・(3)    を満たし、一般項Anは   An=2の(n&#65293;1)乗+1・・・・・(4)  となります。  &#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;&#65293;  読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。   疑問1.(2)式は“An+1&#65293;1”が公費2の等比数列である        ことを示しているのではないか?        どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい        ので“An+1&#65293;1”としたほうがよいと思うのです。   疑問2. 数列{An&#65293;1}の初項は1なので(3)式が成り立つと        なっていますが、nに1、2、3、・・・と代入して        “An&#65293;1”を計算していきました。すると        1、2、4、8、・・・となりますした。        公式An=nの(n&#65293;1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数        (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた        のに突然等比数列になっています。        それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。        スッキリ納得できる方法はないでしょうか。