漸化式について

質問

こんにちは。高校２年の女子です。この前のテストの漸化式の部分でやり直しをする際に途中式が分からず困っています´｀分かる方よろしくお願いします。

次のように定められた数列{ａn}の一般項ａnを求めよ。

ａn+1＝ａn＋１/ｎ(ｎ＋１)
ａ1＝３

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞ａn+1＝ａn＋１/ｎ(ｎ＋１)

ちょっとわかりにくい書き方になっていますが、
a[n+1]=a[n]+(1/n(n+1))
のことでしょうか。もしそうだとすると、
a[n+1]=a[n]+(1/n)-(1/(n+1))
a[n+1]+(1/(n+1))=a[n]+(1/n)
b[n]=a[n]+(1/n) とおくと、
b[n+1]=b[n]
∴b[n]は初項4, 公差0の等差数列
∴b[n]=4
∴a[n]=4-(1/n)

お礼

ご丁寧にありがとうございます！とても助かりました。

回答No.2

ferien

次のように定められた数列{ａn}の一般項ａnを求めよ。

ａn+1＝ａn＋１/ｎ(ｎ＋１)　……（１）
ａ1＝３

（１）は、ａn+1－ａn=１/ｎ(ｎ＋１)　と変形しておきます。

右辺＝１/ｎ(ｎ＋１)について考えます。

例えば、１／３－１／４＝（４－３）／３・４＝１／３・４　の関係が成り立ちます。
だから右辺は、１/ｎ(ｎ＋１)＝１／ｎ－１／（ｎ＋１）　のように書き換えることができます。

ａn+1－ａn=１/ｎ-1/(ｎ＋１)　……（２）より

ａn－ａn-1　＝１／（ｎ－１）－１／ｎ
ａn-1－ａn-2＝１／（ｎ－２）－１／（ｎ－１）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ａ3－ａ2　　＝１／２－１／３
ａ2－ａ1　　＝１－１／２　　　　　　　これらを両辺で加えると最後残るのは、

ａn－ａ1＝１－１／ｎ、　ａ1＝３を代入して　ａn＝ａ1＋１－１／ｎ＝３＋１－１／ｎ

よって、　ａn＝（４ｎ－１）／ｎ

お礼

ご丁寧にありがとうございます！とても助かりました。