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数学 漸化式 応用
問題１：数列{an}がa1=1,a2=2,a(n+2)=-a(n+1)+2an(n=1,2,3,…)で定められるとき,次の問いに答えよ。 （１）bn=a(n+1)-an(n=1,2,3,…)とするとき,b(n+1)をbnを用いて表せ。 （２）（３）は（１）が解けたらたぶん解けるので（１）を教えて下さい^^ 問題２：数列{an},{bn}がa1=1,b1=3,a(n+1)=2an+bn,b(n+1)=an+2bnで定められている。このとき{an+bn}の一般項と,{an-bn}の一般項を求めよ。またこれらの結果より,{an}の一般項,{bn}の一般項を求めよ。 よろしくお願いします。 全然ぃぃアイデアが思い浮かびません^^； 普通の漸化式と違っていて… 何をいっているのかもわかりません。 お願いします。
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よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列｛Ａn｝の一般項を求めよ。 Ａ1＝２、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn) （ｎ＝１、２、３、……） [解] 条件により Ａ1＝２／１、Ａ2＝２／３、Ａ3＝２／５、Ａ4＝２／７ よって、一般に Ａn＝２／(２ｎ－１) ・・・・・・(1) となることが推測される。 一般項が(1)である数列｛Ａn｝が、条件を満たすことを示す。 ［１］ (1)でｎ＝１とおくと Ａ1＝２ ［２］ (1)をＡn／(１＋Ａn)に代入すると Ａn／(１＋Ａn)＝２／(２ｎ－１)÷{１＋２／(２ｎ－１)} ＝２／(２ｎ－１)÷(２ｎ＋１)／(２ｎ－１) ＝２／(２ｎ＋１) ＝２／{２（ｎ＋１）－１} よって、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn) が成り立つ。 ［１］、［２］から、求める一般項は Ａn＝２／(２ｎ－１)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、Ａ1は初項、Ａnは第ｎ項、Ａn+1は第ｎ＋１項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 ［２］の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか？。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数ｎについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね？。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか？。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。
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もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。 漸化式のところでつまずいて前に進めません。 どなたか教えてもらえないでしょうか。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 初項がA1、An+1=PAn＋Q n＞1 P、Qは定数 の漸化式で確認しておきましょう。 An+1－α=P(An－α) つまり An+1=PAn－Pα＋α と与えられた漸化式 An+1=PAn＋Q を見て、定数項を比べると Q=－Pα＋α=α(1－P) となり、この式から α=Q／(1－P)・・・・・(1) とすればよいことが判ります。このとき数列{An－α}は An+1－α=P(An－α)より、公比Pの等比数列となり、その 初項は A1－α=A1－Q／(1－P)・・・・・・・(2) なので An－Q／(1－P)=(A1－Q／(1－P)）×Pのn-1乗・・・・(3) よって An=(A1－Q／(1－P))×Pのn-1乗＋Q／(1－P)・・・・・(4) と一般項が求まります。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 数列{An－α}の公比はPになることは直感的に判るのですが 初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが 最後に求まったのはAnの一般項でした。 それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果 です。 ここでの漸化式はAn+1－α=P(An－α)の形式に持ち込めたら 公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項 が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ つかめません。 解説のほどよろしくお願いいたします。
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わかりずらくてすみません＞＜ a1=１, ａn+1=３an+４(n=１, ２, ３, ・・・・・) を満たす数列の一般項を求めよ。 という問題を解いていくと an+1=３an＋４ X=３X＋４ ・・・(1) を辺々引くと an+1－X=３(an－X) 一方、(1)よりX=－２だから an+1＋２=３（an＋２） よって、数列{an＋２}は公比３の等比数列で an＋２=3^(n-1)（a1＋２）・・・※ ここなんです！ ※の式のとこなんですが an+1＋２=３（an＋２） の（an＋２）のとこが an＋２=3^(n-1)（a1＋２） なぜ（a1＋２）に変わるのかを説明してほしいです！ よろしくお願いします！
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