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漸化式

まず、an,a1,an+1をうまく表記できなかったので大変見にくいかと思いますが、それぞれaの右下にあるものと思ってください。大変申し訳ありませんがご了承ください。 「数列{an}において、漸化式    a1=a、16a(n+1)=an+3(n≧1)を考える。 このとき、この漸化式は、16(an+1-1/5)=an-1/5 と変形できるので、一般項 an は、an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)」という解答で 16(an+1-1/5)=an-1/5という式から一般項 an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)の導き方がわかりません。教えてもらえないでしょうか。よろしくおねがいします。

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一般項を a(n)と表すことにします。 16* {a(n+1)- 1/5}= a(n)- 1/5より両辺を 16で割って、 a(n+1)- 1/5 = 1/16* {a(n)- 1/5} …(1)式 と変形します。 ここで、a(n)- 1/5= b(n)とおいてみます。 すると (1)式は b(n+1)= 1/16* b(n) b(1)= a(1)- 1/5= a- 1/5 となります。 数列{b(n)}は、初項が a- 1/5、公比が 1/16の等比数列となります。 よって、数列{b(n)}の一般項は b(n)= (a- 1/5)* (1/16)^(n-1) あとは a(n)を戻していけば、導けます。 (1)式の 1/5の出し方がポイントになりますが、 16* {a(n+1)-α}= a(n)-α と「なってほしい形」を要請して、それを満たすαを求めることで出てきます。

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  • 回答No.3

この質問は荒唐無稽に1/5が出てくることに対する不安感であって、それが筋道だって出てくることを示す必要がある。 n→∞においてはanはpに収束し、an+1もpに収束すると考える。このとき漸化式 16a(n+1)=an+3 (1) は 16p=p+3(2) となりこれからp=1/5 これを見極めたうえで (1)-(2)を造ると 16(a(n+1)-p)=(an-p) 故に a(n+1)-p=(an-p)/16 =(a(n-1)-p)/16^2 ............. =(a1-p)/16^n 故に a(n+1)-p=(a1-p)/16^n  故に a(n+1)=(a1-p)/16^n+p 故に a(n)=p+(a1-p)/16^(n-1) この式で a1=a,p=1/5を代入すればよい。

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  • 回答No.1

bn=anー1/5と置き換えてみれば、すぐわかる。bnは等比数列。

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