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漸化式の変形

漸化式の書き方はよく分からないんですけど、数列の第3項はA_3のように書きたいと思います。 数列A_nがA_1=3,A_n+1=2A_n-nで定義されるとき、一般項A_nを求めよ。 上のような問題でA_n+1=2A_n-nを変形すると、A_n+1-(n+2)=2(A_n-(n+1))と変形できると解答にあるのですが、 右辺の(n+1)って何ですか?また、これの導き方を教えていただきたいです。

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  • tasu9
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こんばんは A_n+1-(n+2)=2(A_n-(n+1))という変形はすぐには思いつかないですね。 A_n+1=2A_n-nをA(n+1)=2A(n)-nと書きますよ。 これを等比数列の形に書き換えることを考えて、まず A(n+1)+p(n+1)+q=2{A(n)+pn+q}・・・ア とおきます。整理して、 A(n+1)=2A(n)+pn-p+q 後ろの部分が-nになればいいので、p=-1,q=-1 これをアの式に代入すればOKです。

参考URL:
http://tatsume.net/task314/

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質問者からのお礼

ありがとうございます。非常に分かりやすくとても理解しやすかったです。おかげでしっかり疑問が解消されました。

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  • 回答No.2

このように変形すると、 B_(n+1) = A_(n+1) - (n + 2) B_n = A_n - (n + 1) として、 B_(n+1) = 2B_n とできるからです。 このような問題では、うまくnを消すことを考える必要があります。 両辺をnで割るというパターンもあるのですが、 今回の場合は、解答のように変形する必要がありそうですね。 導き方としては、解答のような形に変形できるということをあらかじめ知っていた上で、係数を合わせることになります。 A_(n+1) - (n+1+k) = 2(An - (n+k)) と変形できるとして、 kの値を求める感じだと思います。

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  • 回答No.1

削除対象かも知れませんが、ヒントだけ。 A_n+1=2A_n-n の両辺から (n+2) を引けば出るでしょ。 なんでこんな風に変形したいかといえば B_n+1=K B_n の形に持っていって、等比数列の形にしたいんでしょうね。 それに気が付けたって無理・・・でもないか。

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