漸化式の問題

質問

漸化式の問題で分からないのがあります。
解説よろしくおねがいします。

問題

１ １ ３
α1＝ ━，━━━＝━━＋２　によって定義される数列｛αｎ｝の一般項を求めよ
２ αn+1 αn

回答No.3

mmky

これ9番の質問ですね。
ちょっとあそんでしまいました。
ごめん！忘れてね。

お礼

わざわざたくさん書いてもらってすいません。ありがとうございました。
／で分数書けば良かったんですけど、わかりにくいかなと思って、がんばってやってみたら転送するときに縦がなんだか合ってなかったです。

回答No.2

mmky

＃1さんの指摘で「この問題は、
α1=1/2 , 1/αn+1=(3/αn)+2
によって定義される数列{αn}の一般項を求めなさい。」ということなので
参考までに。
αｎとして
α1=1/2 , 1/αn+1=(3/αn)+2
ですから、αn+1＝1/(3/αn)+2 と変形して
数字をいれてみます。
α1=1/2
α2=1/(3/α1)+2 =1/(3/(1/2))+2=1/8
α3=1/(3/α2)+2 =1/(3/(1/8))+2=1/26
α4=1/(3/α3)+2 =1/(3/(1/26))+2=1/80
となります。
（1/αｎ）は等差数列形式ですから
（1/αｎ+1）-（1/αｎ）を計算します。
（3と2が基数ですから3と2で整理しますと）
(1/α1) ＝2＝（3＾0）×2
(1/α2)-(1/α1）＝8-2＝6＝3×2＝（3＾1）×2
(1/α3)-(1/α2）＝26-8＝18＝9×2＝（3＾2）×2
(1/α4)-(1/α3）＝80-26＝54＝27×2＝（3＾3）×2
ですから
（1/α4）を出すには以下のように全部の項目を加算することですね。
｛(1/α4)-(1/α3）｝+｛(1/α3)-(1/α2）｝+｛(1/α2)-(1/α1）｝
+(1/α1) ＝（1/α4）
だから一般形としては、
(1/αn) ＝2{3＾(n-1)+3＾(n-2)+3＾(n-3)・・+3＾(n-n)｝
=2Σ（3＾(n-1)）
または、3で操作して　(1/αn)＝（2/3）Σ（3＾n)
でも良いになりますね。求めるものは、
（αｎ）の一般形ですから
（αｎ）＝1/｛2Σ（3＾(n-1)）｝＝3/2Σ（3＾n）

と、いうことでしょうか？

回答No.1

Le-Livre

この問題は、

α1=1/2 , 1/αn+1=(3/αn)+2

によって定義される数列{αn}の一般項を求めよってことですか？？

補足

はいそうです。すいません。入力ミスでした。