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漸化式の問題

 漸化式の単元の問題でわからないものがあるので教えてください。問題は「数列{a_n}が次の漸化式を満たすとき、{a_n}の一般項を求めよ。 a_1=2 , a_n+1=2a_n+2n+1(n=1,2,3...)」というものです。  どなたか解法を教えて下さいませんか?よろしくお願い致します。

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  • nag0720
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考え方は、 a_(n+1)+α(n+1)+β=2(a_n+αn+β) を変形すれば、 a_(n+1)=2a_n+2n+1 となるような、α,βを求めます。 そうすれば、b_n=a_n+αn+βは等比数列になるので後は簡単です。

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  • 回答No.3

攻め方としては、 (A) 右辺の「n」をいかになくすか (B) 右辺の a(n)について、その係数を 1にする。⇒ 階差数列に持ち込む のいずれかがよく使われると思います。 (A)の場合には、 n→ n+1と置き換えたものとの差をとって nの項をなくすのがよく使われます。 この場合は、隣接3項間の式になります。 (B)の場合には、 係数を「1」にするために、両辺を 2^(n+1)で割ります。 そして、b(n)= a(n)/2^nと置くことで階差数列の式にできます。

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a_(n+1)=αa_n+(nの多項式) の場合には、a_(n+2)とa_(n+1)の差を考えるといいですよ。 つまり、 a_(n+2)=2a_(n+1)+2(n+1)+1 -)a_(n+1)=2a_n+2n+1 ------------------------- = b_(n+1)=2b_n+2 (b_n=a_(n+1)-a_nとした) ⇔b_(n+1)+2=2(b_n+2) あとは等比数列b_nを解いて(b_1=a_2-a_1に注意)階差数列a_nを解けばOKです。

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