漸化式の問題

質問

漸化式の単元の問題でわからないものがあるので教えてください。問題は「数列{a_n}が次の漸化式を満たすとき、{a_n}の一般項を求めよ。　a_1=2 , a_n+1=2a_n+2n+1(n=1,2,3...)」というものです。
　どなたか解法を教えて下さいませんか？よろしくお願い致します。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

考え方は、

a_(n+1)+α(n+1)+β=2(a_n+αn+β)
を変形すれば、
a_(n+1)=2a_n+2n+1
となるような、α,βを求めます。
そうすれば、b_n=a_n+αn+βは等比数列になるので後は簡単です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

攻め方としては、
(A) 右辺の「n」をいかになくすか
(B) 右辺の a(n)について、その係数を 1にする。⇒ 階差数列に持ち込む

のいずれかがよく使われると思います。

(A)の場合には、
n→ n+1と置き換えたものとの差をとって nの項をなくすのがよく使われます。
この場合は、隣接3項間の式になります。

(B)の場合には、
係数を「1」にするために、両辺を 2^(n+1)で割ります。
そして、b(n)= a(n)/2^nと置くことで階差数列の式にできます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

tksmsysh

a_(n+1)=αa_n+(nの多項式)
の場合には、a_(n+2)とa_(n+1)の差を考えるといいですよ。
つまり、
a_(n+2)=2a_(n+1)+2(n+1)+1
-)a_(n+1)=2a_n+2n+1
-------------------------
= b_(n+1)=2b_n+2 (b_n=a_(n+1)-a_nとした)
⇔b_(n+1)+2=2(b_n+2)

あとは等比数列b_nを解いて(b_1=a_2-a_1に注意)階差数列a_nを解けばOKです。

お礼

ご回答ありがとうございました。