- ベストアンサー
2項間漸化式の問題
はじめまして。 数列a(n)が漸化式 a(n)=1 a(n+1)=a(n)-3・2^(n-1)-2 によって定められているときにa(n)はどのように求まるでしょうか? 解法を教えてください
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- だれか隣接3項間漸化式について教えてください。
中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1 n>=1 ・・・(2) An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1 n>=1 となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は An=-1×3^n-1+3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列 漸化式
A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1) という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか? 回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式の問題
先日苦手な漸化式の問題が出され解いてみたのですがどうしてもうまくいきませんでした。どうしても解いてみたいので、回答と解き方を教えてください。 (問)漸化式(*) x_n+2=2x_n+1-2x_n=0 (n=1,2,…)をみたす数列 (x_n)_n=1,2,…全体のなすベクトル空間をVとする。 (1)Vの一組の基底及び次元を求めよ。 (2)α=1+i,β=1-i (i^2=-1)と置くとき、漸化式 (ⅰ) x_n+1=αx_n, (ⅱ) x_n+1=βx_n (n=1,2,…) をみたす数列(x_n)_n=1,2,…全体のなす集合をそれぞれW_1,W_2とする と、これらは共にVの部分空間であることを示せ。 (3)漸化式(ⅰ),(ⅱ)をみたす例でない数列をそれぞれw_1,w_2とするとき、 Λ={w_1,w_2}はVの基底になることを示せ。 (4)Λに関する数列(1,1,…)∈Vの座標を求めよ。 以上です。 こんな簡単な問題も分からないのと思わず優しく教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3項間漸化式
3項間漸化式 a(1)=1,a(2)=2,3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0(n=1,2,3,...)で定義される数列を{a(n)}とするとき、次の問いに答えよ 壱,a(n+2)=a(n+1)+2a(n)をa(n+2)-αa(n+1)=β<a(n+1)-αa(n)>と変形するとき、係数α,βの値を求めよ 弐,a(n)をnの式で表せ という問題で、(1)は出来たのですが、(2)の途中からがわかりません。 壱は、α=-1,β=2 , α=2,β=-1 が答えになります 弐 α=-1,β=2とすると、 a(n+2)+a(n+1)=2<a(n+1)+a(n)> a(2)+a(1)=2 ←この部分が何故こうなるかがわかりません。 以下略 右辺の<>の部分で左辺を割ったのですか・・・? 形が似ているからなんとなく、そう思うのですが、不安です。 そもそも、a(1)=1,a(2)=2 だから、これって成り立たないのではないのですか? 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2項間漸化式のある解き方で悩んでいます。
【問】 A(1)=1,A(n+1)=2A(n)+n+1 (n≧1) で定まる数列{A(n)}の一般項を求めよ。 このパターンの問題の解き方を塾で習いました。 A(n+2)の式を作ってA(n+1)の式を引くというやり方なのですが、自分でやってみたところうまくいかないので、間違っている点を指摘してください。 A(n+2)=2A(n+1)+n+2 から A(n+1)=2A(n)+n+1 を引くと A(n+2)-A(n+1)=2{A(n+1)-A(n)}+1 となり、 ここで、A(n+1)-A(n)=B(n) とおくと、上の式は、 B(n+1)=2B(n)+1 と表せる。 B(1)=2+1+1-1=3 なので、 B(n)=3・2^(n-1)-1 となる。よって、 A(n+1)-A(n)=3・2^(n-1)-1 である。 A(n+1)-A(n)=3・2^(n-1)-1 から A(n+1)-2A(n)=n+1 をひくと、 A(n)=3・2^(n-1)-n-2 となる。 と解いてみたのですが、正解は、 A(n)=2^(n+1)-n-2 なのです。 どこが間違っているのでしょうか?? なんかB(n)の漸化式を解くところから違ってきてる気はするのですが。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- PC-GD306ZZAGを使用している際に、無線LANをPCIeスロットから移動することは可能でしょうか?
- PC-GD306ZZAGにはXIT-BRD110Wというテレビチューナーを追加したいのですが、チューナーは「PCI Express×1にのみ対応しています」と書かれています。
- しかし、斜めに走っている線(無線LAN)が邪魔で、チューナーを挿すことができないのではないかと心配しています。無線LANのスロットを移動することはできるでしょうか?
お礼
a(n)=1は、a(1)=1の間違いです、察していただき助かりました。 そして、ご回答ありがとうございました。非常に参考になりました。