漸化式

質問

第ｎ番目の数列をａ（ｎ）とします。

次の漸化式を求めよ。

ａ（１）＝０として、
ａ（ｎ＋１）＋ａ（ｎ）＝２のｎ乗

ちなみに、この数列は０、２、２、６、１０、２２、のようになります。

わかる方宜しくお願いします。
解法のポイントなども教えていただければ助かります。特に勘違いしやすいところとか。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

a[n+1]+a[n]=2^n
のようにr^nが出てきたら両辺をr^(n+1)で割ります。これが定石です。
a[n+1]/2^(n+1)+(1/2)a[n]/2^n=1/2
移項する
a[n+1]/2^(n+1)=(-1/2)a[n]/2^n+1/2
x=(-1/2)x+1/2をとくとx=1/3だから1/3を引く
a[n+1]/2^(n+1)-1/3=(-1/2)(a[n]/2^n-1/3)
だからa[n]/2^n-1/3は公比が(-1/2)の等比数列です。
a[n]/2^n-1/3=(-1/2)^(n-1)*(a[1]/2^n-1/3)=(-1/2)^(n-1)*(-1/3)
a[n]/2^n=1/3+(-1/2)^(n-1)*(-1/3)
a[n]=(2^n)/3+(-1)^n*(2/3)=(2^n+2*(-1)^n)/3
勘違いしやすいところなどどこにもありません。

お礼

言われてみれば、おっしゃる通りです。

ありがとうございます。

これをみていると、なぜ出来なかったか不思議に思われます。
もちろん、知識と練習不足ですが。

それにしても、無駄のない解答だと思います。

回答No.5

atkh404185

解法のポイントなども教えていただければ助かります。

　　　　　↓↓↓

数列の基本的なものは、

１　定数数列

２　等差数列

３　等比数列

の３つです。

《例》

１　数列　5，5，5，5．5．・・・・・　の一般項ａnを求めよ。

解）　ａn=5

２　数列　1，4，7，10，13，16，・・・・・　の一般項ａnを求めよ。

解）　初項 1，公差 3 の等差数列だから

　　ａn=1+(n-1)×3=1+3n-3=3n-2

３　数列　2，8，32，128，512，2048，・・・・・　の一般項ａnを求めよ。

解）　初項 2，公比 4 の等比数列だから

　　ａn=2・4^(n-1)

のように、すぐに一般項 ａn が求まります。

だから、漸化式を上の１，２，３のどれかになるように式変形をします。

ａ(n+1)＋ａn＝２^n　・・・・・・（Ａ）

ですが、

（Ａ）の両辺を　2^n　で割ると、

ａ(n+1)/2^n＋ａn/2^n=1　・・・・・・（Ｂ）

となります。

このとき、左辺に注目して、

ａ(n+1)/2^n　は、

ａ(n+1)　（第(n+1)項）に対して分母は　n　乗

ａn/2^n　は、

ａn　（第n項）に対して分母は　n　乗

となり、これは規則性がなさそうですね。

（Ｂ）をさらに、式変形をして、

ａ(n+1)/2^n＋(1/2)ａn/2^(n-1)=1 ・・・・・（Ｃ）　

とすると、左辺は、

ａ(n+1)/2^n　は、

ａ(n+1)　（第(n+1)項）に対して分母は　n　乗

ａn/2^(n-1)　は、

ａn　（第n項）に対して分母は　n-1　乗

となり、これは規則性がありますね。

どちらも、第Ｎ項に対して分母は　《　1　》少ない　Ｎ-1　乗

になっています。

ということは、

ａn/2^(n-1)=ｂn

とおくと、（Ｃ）は

ｂ(n+1)+(1/2)ｂn=1

となります。（← この方法でも、もちろん解けます。）

ですが、

さらに工夫して、

（Ａ）の両辺を　2^(n+1)　で割ると、

ａ(n+1)/2^(n+1)＋ａn/2^(n+1)=1/2

さらに、

ａ(n+1)/2^(n+1)＋(1/2)ａn/2^n=1/2 ・・・・・（Ｄ）

と変形すると、

ａ(n+1)/2^(n+1)　は、

ａ(n+1)　（第(n+1)項）に対して分母は　n+1　乗

ａn/2^n　は、

ａn　（第n項）に対して分母は　n　乗

となり、先ほどよりも、もっと規則性がありますね。

どちらも、第Ｎ項に対して分母は　《　同じ　》　Ｎ　乗

です。

ということで、

漸化式（Ａ）は、

（Ｄ）に変形して解いていきます。

ａn/2^n=ｂn ・・・・・（ア）

とおくと、（Ｄ）は

ｂ(n+1)+(1/2)ｂn=1/2 ・・・・・（Ｅ）

この形の漸化式は、

ｂ(n+1)　と　ｂn　を　x　とおいて、

１次方程式　x+(1/2)x=1/2 ・・・・・（Ｆ）

を解きます。

(3/2)x=1/2

x=1/3

これを、（Ｆ）に代入して

1/3+(1/2)1/3=1 ・・・・・（Ｇ）

（Ｆ）-（Ｇ）を計算して、

{b(n+1)-1/3}+(1/2)(ｂn-1/3}=0

{b(n+1)-1/3}=-(1/2)(ｂn-1/3} ・・・・・（Ｈ）

ここで、

ｂn-1/3=ｃn ・・・・・（イ）

とおくと、（Ｈ）は

ｃ(n+1)=-(1/2)ｃn

となり、数列｛ｃn｝は、等比数列になります。

初項は　ｃ1=ｂ1-1/3=ａ1/2^1-1/3=0-1/3=-1/3

公比は　-1/2

です。

これから、数列｛ｃn｝は、

ｃn=(-1/3)(-1/2)^(n-1)

となり、次に、数列｛ｂn｝は、（イ）より

ｂn-1/3=(-1/3)(-1/2)^(n-1)

ｂn=(-1/3)(-1/2)^(n-1)+1/3

となり、さらに、数列｛ａn｝は、（ア）より

ａn/2^n=(-1/3)(-1/2)^(n-1)+1/3

ａn=(-1/3)×2(-1)^(n-1)+(1/3)2^n

=2(1/3)(-1)^n+(1/3)2^n

=(2/3)(-1)^n+(1/3)2^n (={2(-1)^n+2^n}/3)

と解けます。

特に勘違いしやすいところとか　

　　　↓↓↓

n，n+1，n-1 などの勘違いやまちがい、

両辺に　2^n　を掛けたときに、約分をまちがえたり、

-(-1)^(n-1)=(-1)^n　や　(-1/2)^n=-(-1/2)^(n-1)

などの計算のとき、　何乗になるか、

等、気をつけて（落ち着いて計算して）下さい。

解き方の流れをしっかりと覚えて下さい。

１．２．３のいずれかの数列が作れば、

あとは、『ドミノ倒し』のように、

ｃn　⇒　ｂn　⇒　ａn

と、順次求まっていきます。

お礼

答えに至るまでの考え方など、丁寧に解説していただきありがとうございます。

うまくないが答えに辿りつける解法、これもいいけれど、もっといい方法もあるから、解き方の定石を活用するという考え方は大事だと思います。

補足

(-1/2)^n=-(-1/2)^(n-1)

のところですが、－１/2(-1/2)^(n-1)ではないのですか。他に変形の仕方はあるとおもいますが、苦手なところといいますか、いつも苦戦していますので確認のためにコメントしました。

宜しくお願いします。

回答No.4

noname#223095

回答者No.2の方の計算法がもっとも分かりやすいでしょう．最後まできちんと計算されています．ご指摘されているように，この問題の場合ですと，与式の両辺を2のn+1乗で割るのです(2のn乗で割ってもいいですが，2のn+1乗で割る方が分かりやすいでしょう)．一般に，ネット上ではaのb乗をa＾bと表記します．これは正式な表記法ですから知っておいて下さい．ですから，2の(n+1)乗をこの表記法で表すと，

　　　　　　2＾(n+1)

となります．従って，質問者さんが示された漸化式をこの表記を用いて表すと，

　　　　　a(n+1)+a(n)=2＾n

となります．この両辺を2のn+1乗，すなわち2＾(n+1)で割るのです．すると

　　　　　a(n+1)/2＾(n+1)+a(n)/2＾(n+1)= 1/2

さらに，上式の左辺の第２項において，1/2を１つ前に出して，(1/2)a(n)/2＾nとして書き直すと，上式は，

　　　　　a(n+1)/2＾(n+1)+ (1/2)a(n)/2＾n=1/2

さらに，質問者さんがより馴染みのある形にするために，上式の左辺の第２項を右辺に移すと，

　　　　　a(n+1)/2＾(n+1)=‐(1/2)a(n)/2＾n+1/2・・・(1)

となります．ここで，見やすくするために，a(n)/2＾nをb(n)と書くとこにすれば，(1)の左辺については，

　　　　　a(n+1)/2＾(n+1)=b(n+1)

と表されることが分かるでしょう．従って，(1)は，b(n)，b(n+1)を用いて書き直すと，

　　　　　b(n+1)=‐(1/2)b(n)+1/2・・・(2)

この漸化式はもっとも基本的な漸化式で，その解法はおそらく質問者さんも知っておられるでしょう．ここで，b(1) = a(1)/2＾1= 0 (なぜなら，a(1)=0)として(2)を解くと，

　　　　　b(n)=(1/3){1‐(‐1/2)＾(n‐1)}

が得られるはずです．これで，a(n)/2＾nが求まった訳です．すなわち，

　　　　　a(n)/2＾n=(1/3){1‐(‐1/2)＾(n‐1)}

この式の両辺に2＾nをかけることで，

　　　　　a(n)=((2＾n)/3) {1‐(‐1/2)＾(n‐1)}

これで，a(n)が求まりました．

最後の結果は，頭の分子にある2＾nを，中括弧{ }の中へ掛け込むことで，

　　　　　a(n)=(1/3){2＾n‐2・(‐1)＾(n‐1)}

と書き直すことができますが，是が非でもやるほどの変形ではありません．

以上，参考になりましたら．

お礼

初歩的なところから教えていただきありがとうございます。

＞回答者No.2の方の計算法がもっとも分かりやすいでしょう＜

まったく同感です。

「＾」は今後活用します。

回答No.3

bran111

漸化式はいくつかの項の間の関係を明らかにすることが出発点です。
a(n+1)+a(n)=2^n　　　　　　　　　　　　　　　　（1）
これは2項間の関係のように見えますが右辺にnが入っているので一般論としてはうまくない。次のように考えます。
a(n)+a(n-1)=2^(n-1)　　　　　　　　　　　　　　　
この二つから
a(n+1)+a(n)=2(a(n)+a(n-1))　　　　　　　　　　　　　(2)
ゆえに
a(n+1)-a(n)-2a(n-1)=0　　　　　　　　　　　　　　　(3)
この問題は本質的に3項間の漸化式ということがわかります。
p+q=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
pq=-2 (5)
とおくと(3)は
a(n+1)-(p+q)a(n)+pqa(n-1)=0
これは
a(n+1)-pa(n)=q(a(n)-pa(n-1)=q^(n-1)(a(2)-pa(1)) (6)
と書き換えることができます。同様に
a(n+1)-qa(n)=p(a(n)-qa(n-1)=p^(n-1)(a(2)-qa(1)) (7)
(6)-(7)を作ると
(q-p)a(n)=[q^(n-1)-p^(n-1)]a(2)-[q^(n-1)p-p^(n-1)q]a(1)　　　　(8)
となり、一般項a(n)が求められそうです。注意しなければばらないのは
q-pが0かどうかということです。そもそもp,qは何かということがわかっていませんでした。
それは(4),(5)よりp,qを解とする２次方程式
t^2-t-2=0を解けばよいことがわかります。
因数分解して
(t+1)(t-2)=0
よってp,q=-1,2
p=-1,q=2
のとき(6)は
a(n+1)+a(n)=2(a(n)+a(n-1))　　　　　　(9)
これは(2)そのものです。
p=2,q=-1
のとき(6)は
a(n+1)-2a(n)=-(a(n)-2a(n-1)) (10)
となります。つまり(2)はこのように書き換えることも可能ということです。
p≠qなので(8)からa(n)を求めることができます。ここでは穴地ことですが次のようにしてみましょう。
(9)より
a(n+1)+a(n)=2(a(n)+a(n-1))=2^(n-1)(a(2)+a(1)=2^n (11)
(10)より
a(n+1)-2a(n)=-(a(n)-2a(n-1))=(-1)^(n-1)(a(2)-2a(1))=2(-1)^(n-1) (12)
(11)-(12)より
a(n)=[2^n+2(-1)^(n-1)]/3

お礼

くわしい解説ありがとうございます。

特性方程式がなぜ正しいかについては文字で考えるとその通りなのですが、

なんかしっくりこないのも事実です。

二次方程式の解と係数の関係、対称式の知識をこういうところでも活用することができることの一例だと再認識。

回答No.1

gohtraw

ちゃんと解いてはいませんがアイディアだけ。
a(1)+a(2)=2
-(a(2)+a(3))=-2^2
a(3)+a(4)=2^3
　　　・
　　　・　
　　　・
a(n-1)+a(n)=2^(n-1)　・・・（nが偶数の場合）
-(a(n-1)+a(n)）=-2^(n-1)　・・・（ｎが奇数の場合）
これらを辺々加えて行くと、
左辺はa(1)とa(n)だけが残り、右辺は等比数列の和になります。
ただしnが偶数か奇数かによって左辺のa(n)の符号が変わるので
要注意かと。

お礼

チャート式でみかけたことあります。
最初この解き方をこころみたのですが、
練習不足、知識不足でうまくいきませんでした。

やっぱりこの解き方も知っとかないとと思います。