隣接3項間漸化式

質問

下記の漸化式の示し方がわかりません

α=(3+√5)/2 とし、数列a[n]を

a[n] = α^n +1/α^n　と定めるとき

a[n+2] = 3a[n+1] - a[n] 　が成り立つことを示せ。

を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

spring135 · ベストアンサー

a[n] = α^n +1/α^n=[(3+√5)/2]^n+[1/(3+√5)/2]^n

1/[(3+√5)/2]=2/(3+√5)=(3-√5)/2

よって

a[n]=[(3+√5)/2]^n+[(3-√5)/2]^n (1)

a[n+1]=[(3+√5)/2]^(n+1)+[(3-√5)/2]^(n+1)　　(2)

a[n+2]=[(3+√5)/2]^(n+2)+[(3-√5)/2]^(n+2)　　　(3)

(1),(2)より

3a[n+1]-a[n]=3[[(3+√5)/2]^(n+1)+[(3-√5)/2]^(n+1)]-[[(3+√5)/2]^n+[(3-√5)/2]^n]

=[(3+√5)/2]^n*[3*(3+√5)/2-1)]+[(3-√5)/2]^n*[3*(3-√5)/2-1)]

3*(3+√5)/2-1=(7+3√5)/2=(3+√5)/2)^2 確認すること

3*(3-√5)/2-1=(7-3√5)/2=(3-√5)/2)^2　　　確認すること

故に

3a[n+1]-a[n]=[(3+√5)/2]^(n+2)+[(3-√5)/2]^(n+2)
=a(n+2)

お礼

ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。
すっきりしました。

回答No.3

mister_moonlight

いらいらするな。。。。。。。ｗ　　　この程度は、あっさり解いてくれよ。

α=(3+√5)/2　→　2α=(3+√5)→　2α-3＝√5　2乗すると　α＾2-3α＋1＝0.
α≠0から割ると、α＋1/α＝3　と言う事。

補足

a[1] =3　ということですよね。
それからどうすればいいのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

「何の」右辺を変形することを考えているのでしょうか?

補足

a[n+2] = 3a[n+1] - a[n]　の部分の右辺です。

回答No.1

Tacosan

たぶん, α が満たす 2次方程式を考えるといいんじゃないかな.

補足

右辺を変形して、2次方程式の形にするということでしょうか？