２項間漸化式のある解き方で悩んでいます。

質問

【問】
Ａ(1)＝1，Ａ(n+1)＝2Ａ(n)＋n＋1　(n≧1)
で定まる数列{Ａ(n)}の一般項を求めよ。

このパターンの問題の解き方を塾で習いました。
Ａ(n+2)の式を作ってＡ(n+1)の式を引くというやり方なのですが、自分でやってみたところうまくいかないので、間違っている点を指摘してください。

Ａ(n+2)＝2Ａ(n+1)＋n＋2　から
Ａ(n+1)＝2Ａ(n)＋n＋1　を引くと
Ａ(n+2)－Ａ(n+1)＝2{Ａ(n+1)－Ａ(n)}＋1　となり、
ここで、Ａ(n+1)－Ａ(n)＝Ｂ(n)　とおくと、上の式は、
Ｂ(n+1)＝2Ｂ(n)＋1　と表せる。
Ｂ(1)＝2＋1＋1－1＝3　なので、
Ｂ(n)＝3・2^(n-1)－1　となる。よって、
Ａ(n+1)－Ａ(n)＝3・2^(n-1)－1　である。
Ａ(n+1)－Ａ(n)＝3・2^(n-1)－1　から
Ａ(n+1)－2Ａ(n)＝n＋1　をひくと、
Ａ(n)＝3・2^(n-1)－n－2　となる。

と解いてみたのですが、正解は、
Ａ(n)＝2^(n+1)－n－2　なのです。
どこが間違っているのでしょうか？？
なんかＢ(n)の漸化式を解くところから違ってきてる気はするのですが。
よろしくお願いします。

回答No.1

hpsk · ベストアンサー

> Ｂ(n+1)＝2Ｂ(n)＋1　と表せる。
> Ｂ(1)＝2＋1＋1－1＝3　なので、
> Ｂ(n)＝3・2^(n-1)－1　となる。
この最後の部分ですね。
（というか、n=1を代入したらもうアウトです）
このレベルの問題を解こうとしているのなら、B(n)の出し方はわかると思いますので、考え直してみてください。

お礼

ありがとうございます。
等比数列に帰着させる所でミスをしていました。

回答No.2

grasshopper59

>Ａ(n+2)＝2Ａ(n+1)＋n＋2　から
>Ａ(n+1)＝2Ａ(n)＋n＋1　を引くと
>Ａ(n+2)－Ａ(n+1)＝2{Ａ(n+1)－Ａ(n)}＋1　となり、
>ここで、Ａ(n+1)－Ａ(n)＝Ｂ(n)　とおくと、上の式は、
>Ｂ(n+1)＝2Ｂ(n)＋1　と表せる。
>Ｂ(1)＝2＋1＋1－1＝3

とここまではあっているのですが、その次のところですね。
Ｂ(n+1)＝2Ｂ(n)＋1をα＝2α＋1の解α＝－1をもちいて
Ｂ(n+1)＋1＝2{Ｂ(n)＋1}と変形できるので、
Ｃ(n)＝Ｂ(n)＋1とすると、Ｃ(n+1)＝2Ｃ(n)と表せます。
Ｃ(1)＝Ｂ(1)+1＝3+1＝4だから、Ｃ(n)＝4×2^(n-1)
Ｃ(n)＝Ｂ(n)＋1から、Ｂ(n)＝4×2^(n-1)-1＝2^(n+1)-1
数列Ｂ(n)は数列Ａ(n)の階差数列だから、
後は階差数列の公式に入れてください。
そうすると答えが出ました。

お礼

等比数列の初項を求めるときにＢ(1)に１を足すのを忘れていました(^^;