• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

漸化式(隣接2項間)・a_n+1=pa_n+q

漸化式(隣接2項間)の問題・a_n+1=pa_n+q 隣接2項間の漸化式の問題で 例)α=-1より、a_(n+1)+1=3(a_n+1) これがなぜ「数列(a_n+1)が、初項a_1+1=2,公比3の等比数列であることを表している」のでしょうか? どなたかわかりやすくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数240
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • biizu
  • ベストアンサー率75% (3/4)

公比 右辺(a_n+1)を3倍したら左辺になる、というのはOKですよね。 左辺は右辺の次の項をあらわしているんです。 数列で第n項の次の項を第n+1項っておくでしょ? だから漸化式において、(a_n+1)の3倍は3(a_n+1 + 1)なんです。 初項 適当に、n=99とすると、この漸化式は第100項と第99項の関係をあらわしていることになります。 次にn=98とすると、この漸化式は第99項と第98項の関係をあらわしていることになります。 このようにnを繰り下げていくと、最終的にはn=1となり、第2項と第1項の関係をあらわしていることになりますよね。 そしてこのときの右辺が、初項です。 だから初項はa_1 + 1なんです。 と、ここまで書いて思ったんですが、もとのa_n=・・・っていう式が与えられてないので、ここから先は進めません。 でもまあ、a_n=・・・の初項が1だとしますね。そうするとa_1 + 1= 1+1=2となり、ご質問の初項は2になるんです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • だれか漸化式について教えてください。

    もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。  漸化式のところでつまずいて前に進めません。  どなたか教えてもらえないでしょうか。  -------------------  初項がA1、An+1=PAn+Q n>1 P、Qは定数  の漸化式で確認しておきましょう。  An+1-α=P(An-α) つまり An+1=PAn-Pα+α  と与えられた漸化式       An+1=PAn+Q  を見て、定数項を比べると   Q=-Pα+α=α(1-P)  となり、この式から       α=Q/(1-P)・・・・・(1)  とすればよいことが判ります。このとき数列{An-α}は  An+1-α=P(An-α)より、公比Pの等比数列となり、その  初項は   A1-α=A1-Q/(1-P)・・・・・・・(2)  なので   An-Q/(1-P)=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗・・・・(3)  よって   An=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗+Q/(1-P)・・・・・(4)    と一般項が求まります。  -------------------  数列{An-α}の公比はPになることは直感的に判るのですが  初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが  最後に求まったのはAnの一般項でした。  それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果  です。  ここでの漸化式はAn+1-α=P(An-α)の形式に持ち込めたら  公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項  が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ  つかめません。  解説のほどよろしくお願いいたします。    

  • だれか隣接3項間漸化式について教えてください。

    中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。  漸化式  A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An    n>=1 ・・・(1)  を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。  そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの  漸化式を満たす数列があるのか、ということです。  結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を  公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の  ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局    An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1    n>=1  ・・・(2)    An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1    n>=1  ・・・(3)  という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、    An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1     n>=1  となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は    An=-1×3^n-1+3×2^n-1     n>=1 ・・・(4)  となりました。  これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの  証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を  満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが  一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。  (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが)  このあたりの事情がよく判りません。  どなたか解説して戴けないでしょうか。

  • 数列 漸化式

    A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1) という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1   となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか? 回答お願いいたします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

問題をしっかり把握してください。このままでは支離滅裂です。 a_n+1=pa_n+q    (1) 漸化式があった場合極限値があったとするとそれは lim(n→∞)a_n+1=lim(n→∞)a_n=α を考えるのが定石です。 この時(1)は α=pα+q 故に α=q/(1-p) (1)からa_n+1-αを作ると a_n+1-α=p(a_n-α) (ちゃんと確認すること) これから b_n=a_n-α で数列b_nを定義すると b_n+1=pb_n つまり数列b_nは公比pの等比数列になっているというのが趣旨です。 α=-1とか公比3とかの数字は例として考えているのでしょうが 一般論(1)と例をよく区別して考えてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

b_n = a_n + 1 と置き換えてみたら?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 漸化式について。

    a_1=1, a_(n+1)=3a_n+4nで定められた数列{a_n}の一般項を求めよ。 という問題なんですが、解説を読んでも理解できません;; 解説には、b_n=a_n-(αn+β)とおいて、数列{b_n}が等比数列になるように、αとβを求め、一般項を出す、というやり方で書いてあります。 何故b_n=a_n-(αn+β)とおくのでしょうか?αn+βがどこから出てきたのか分かりません・・・。 また、{b_n}が等比数列になるようにαとβを求める、ということも理解できません。 何故、b_nは等比数列にならなければいけないのでしょうか? どなたか教えてください。お願いします。

  • 漸化式と数学的帰納法

    問題集をやっていたらわからないところ2つがあったで誰かわかる方教えてください。途中までやったのですがわからなくなりました。 数列はa(1)、 a(2)、と表しています。 一般項を求めなさいという問題で (1)a(1)=2,a(n+1)=a(n)+n^2-2n(n=1,2,3…) (2)a(1)=2,a(n+1)=3(an)-1(n=1,2,3…) の問題ですが途中まで解いたのを書いておきます。 (1)漸化式よりすべての自然数kについて次の式が成り立つ。 a(k+1)-a(k)=k^2-2k よって数列{a}の階差数列の第k項はk^2-2kであるから n≧2 a(n)=a(1)+Σ{k^2-2k} ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 Σはn-1のk=1です。 (2) n=k+1とすると a(k+2)=3a(k+1)-1 n=kとすると  a(k+1)=3a(k)-1 この2辺の辺々と引くと a(k+2)-a(k+1)=3{a(k+1)-a(k)}…(1) 数列{a(n)}は階差数列を{b(n)}とすると(1)は b(n+1)=3b(k) となる。{b(n)}は公比3の等比数列であり、また、 b(1)=a(2)-a(1)=5-2=3 b(k)=3・3^k-1 したがって、n≧2のとき a(n)=a(1)+Σb(k)=2・Σ3・3^k-1 ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 Σはn-1のk=1です。 両方とも途中までは一応やったのですが途中までもあっているかわかりません。 誰か判る方がいましたら教えてください。

  • 漸化式の特性方程式について

     数列において、第n項をA(n)と表記いたします。  漸化式A(n+1)=2A(n)+1・・・(1)かつA(1)=3を満たす数列のA(n)を求めなさい。という問題について、p=2p+1(←特性方程式)を解き、そのpの値を{A(n+1)-p}=2{A(n)-p}に代入することで、数列A(n)-pは公費2の等比数列で・・・と解きますよね?なぜ特性方程式では、A(n+1)、A(n)ともにpとしてよいのでしょうか?どなたかご存知の方お見えでしたらよろしくお願いいたします。  また、その答えとして、(1)式を{A(n+1)-p}=r{A(n)-p}・・・(2)の形にできるとして導くという方法が有名だと思いますが、なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか?よろしくお願いいたします。

  • 等比級数についての問題でわからないところがあります

    以下の問題です。解答お願いします。 次の等比級数について一般項an、n項までの和Sを求めなさい。また、無限等比級数も求めなさい。 (1)初項2、公比-3/5の等比数列 (2))初項500、公比1/2の等比数列 (3))初項6、公比9/5の等比数列 (4)初項15/8、公比3/7の等比数列 以上です。解答お願いします。

  • 等比数列の個数の数え方は?

    簡単な例をだします。等比数列 2、2^3、2^5、…、2^(2n-1) の項数はどうやって求めますか?私は、初項の指数が1=2*1-1、末項の指数が2*n-1なので、 n個あると考えるんですが不器用でしょうか? 初項1/2、公比4の等比数列と考えるのは不器用だと分かりますが…。

  • だれか漸化式について教えてください(第二段)

    簡単の為以下の例を採りあげます。    An+1=2An-1 ・・・・・(1)  A1=2、n>=1   (1)式は    An+1-1= 2(An-1)・・・・・(2)  と変形できるので数列{An-1}は公比2の等比数列で  あることが判ります。  {An-1}の初項はA1-1=2-1=1  したがって数列{An-1}の一般項は   An-1=1・2の(n-1)乗 ・・・・・(3)    を満たし、一般項Anは   An=2の(n-1)乗+1・・・・・(4)  となります。  ------------------  読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。   疑問1.(2)式は“An+1-1”が公費2の等比数列である        ことを示しているのではないか?        どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい        ので“An+1-1”としたほうがよいと思うのです。   疑問2. 数列{An-1}の初項は1なので(3)式が成り立つと        なっていますが、nに1、2、3、・・・と代入して        “An-1”を計算していきました。すると        1、2、4、8、・・・となりますした。        公式An=nの(n-1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数        (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた        のに突然等比数列になっています。        それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。        スッキリ納得できる方法はないでしょうか。  

  • 漸化式の…

    漸化式のα=pα+qを利用する方程式の教科書説明で 「p、qを定数、p≠1として漸化式が       an+1=pan+q で表されている時、この式がある値αを用いて       an+1-α=p(an-α) と変形できたとすると、数列{an-α}は公比pの等比数列になる。」ってところで、何故数列{an-α}なのでしょう?数列{an+1-α}ではないのでしょうか?

  • 漸化式について

    続けて質問してしまってごめんなさい(><) もう一つ分からない事があるのですが、漸化式で(等差数列)の漸化式と(等比数列)の漸化式と(階差数列)の漸化式の使い分けが全く分かりません。特に(階差数列)の漸化式自体良く分からないので、その辺も詳しく説明お願いします。

  • 漸化式(階差数列使用)

    a_1=3 、a_n+1=3a_n -4で定義される一般項a_nを求めよで、 辺辺引いたりしてa_n+1-a_n=3(a_n -a_n-1) (n≧2) a_n+1 -a_n=b_nでb_n=3b_n-1 (n≧2)また、b_1=2よって {b_n}は初項2 公比3の等比数列であるからb_n=2・3^n-1(n≧1)ここまではわかるのですが、ここ以降何をしてるのかよくわかりません。 先を見ると ゆえに、n≧2のとき a_n=a_1+Σ(k=1~n-1)2・3^k-1=3^n-1 +2 となっています・・・・ここの詳しい解説をしてもらえないでしょうか

  • 等比数列の問題です。

    等比数列の問題です。 1.次の等比数列{an}の一般項を求めなさい。 (1) 初項-1 公比-2 (2)初項-3, 公比-3 (3) 第3項 1, 第5項 1/4&#160;