• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

漸化式の…

漸化式のα=pα+qを利用する方程式の教科書説明で 「p、qを定数、p≠1として漸化式が       an+1=pan+q で表されている時、この式がある値αを用いて       an+1-α=p(an-α) と変形できたとすると、数列{an-α}は公比pの等比数列になる。」ってところで、何故数列{an-α}なのでしょう?数列{an+1-α}ではないのでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数5
  • 閲覧数110
  • ありがとう数6

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

簡単な等比数列を使って考えてみるとわかるかもしれません。 たとえば初項3、公比2の数列をBnとします。 Bn = 3 × 2^(n-1)  (2^nは、2のn乗) nは自然数として使います。 この数列の第1~4項まで書いてみると、 B1 = 3 B2 = 6 B3 = 12 B4 = 24 ある項の数値を2倍(というより公比倍)すると、 次の項の数値になりますよね? この関係を書いてみると、 B1 × 2 = B2 B2 × 2 = B3 B3 × 2 = B4 となってます。 これをnを使って表すと、nは自然数ですから Bn × 2 = Bn+1 (Bn-1 × 2 = Bn では駄目です。n=1の時に式が成立しません) ですよね? この式は「Bn+1を作るには、Bnを2倍する」というよりは、 「Bnを2倍すると、Bnの次の項であるBn+1が作れる。」 と考えた方が良いかもしれません。 等比数列Bnの関係はBn × 2 = Bn+1、 整理して Bn+1 = Bn × 2 という関係で表せました。 と言うことは、 an+1 - α=p ( an - α ) に関しても、数列 {an - α} が等比数列という事にはなりませんか? あともう一つ、数列 {an+1 - α} を等比数列とすると まずい(というより面倒くさくなる)点を書いておきます。 前の例でBnを出しました。この数列Bnは等比数列ですので、 Bn+1に関しても等比数列だと言えます。 この場合、初項6、公比2の数列になりますよね? ある数列Cnが等比数列なら、数列Cn+1も等比数列です。 これは等比数列の一般項の形から分かると思います。 では、ある数列Dn+1が等比数列なら、数列Dnも等比数列だと 言えるでしょうか? 答えはノーです。 Dn+1 = 3 × 2^nとしてみましょう。すると D2=6 D3=12 D4=24 です。それではD1はどうですか? nに0を代入してD1を求めることはできません。nは自然数ですから。 D1 = 3という事が証明できないと、数列Dnが等比数列だとは言えません。 しかしD1 = 3を証明する術が、この場合、全くありません。 例えばDnを Dn = 1        (n = 1) Dn = 3 × 2^(n-1)   (2 ≦ n) というふうに数列Dnを定めることもできます。 この時Dnは等比数列にはなっていませんよね? なのでDn+1が等比数列でも、Dnは等比数列ではない場合があります。 何を言いたかったのかというと、 {an+1 - α} を等比数列とし、 そのまま解いてan+1の一般項を求めたとします。 たとえば an+1 = 2^( n + 1 ) + 3( n + 1 ) となったとします。 この時、nの部分を(n-1)に置き換えて an = 2^n + 3n ―――― (*) としてanの一般項を求めるかもしれませんが、これでは まだ不完全です。 このanの一般項は「nが2以上の自然数」となります。 これはさっきの 「nに0を代入してD1を求めることはできません。」 というのと同じ理由からです。 an+1 = 2^( n + 1 ) + 3( n + 1 ) のnに0を代入してa1を求めることはできません(nは自然数なので)。 この場合、n=1でも(*)式が成り立つ事を証明する必要があります。 なので {an - α} が等比数列とした方が、手間が少なくなるので楽です。 テストの問題用紙に書く量が減って時間が短縮でき、その分 他の問題を解く時間を確保できるので一石二鳥です。 まあ、n=1でも成り立つ事を証明するのはそれほど大変というわけでは ないんですが…。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返信が遅くなりました!丁寧に教えていただいて、どうもありがとうございました!

関連するQ&A

  • だれか漸化式について教えてください。

    もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。  漸化式のところでつまずいて前に進めません。  どなたか教えてもらえないでしょうか。  -------------------  初項がA1、An+1=PAn+Q n>1 P、Qは定数  の漸化式で確認しておきましょう。  An+1-α=P(An-α) つまり An+1=PAn-Pα+α  と与えられた漸化式       An+1=PAn+Q  を見て、定数項を比べると   Q=-Pα+α=α(1-P)  となり、この式から       α=Q/(1-P)・・・・・(1)  とすればよいことが判ります。このとき数列{An-α}は  An+1-α=P(An-α)より、公比Pの等比数列となり、その  初項は   A1-α=A1-Q/(1-P)・・・・・・・(2)  なので   An-Q/(1-P)=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗・・・・(3)  よって   An=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗+Q/(1-P)・・・・・(4)    と一般項が求まります。  -------------------  数列{An-α}の公比はPになることは直感的に判るのですが  初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが  最後に求まったのはAnの一般項でした。  それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果  です。  ここでの漸化式はAn+1-α=P(An-α)の形式に持ち込めたら  公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項  が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ  つかめません。  解説のほどよろしくお願いいたします。    

  • 数列 漸化式

    こんばんは、 数列の漸化式、特性方程式について質問します。 An+1=pAn+q(n=1,2,3、、)p,qは定数はα=pα+qを満たすαを用いて、An+1-α=p(An-α)と変形出来ますよね。 そこで質問なのですが、An+1=pAn +qはAn+1とAnが連続しているからαと置いて、変形できるんですよね? ある問題を解いていて、A2n+1=1/2A2n-1 +1/2(n=1,2,3、、)という式も、 特性方程式を用いて、A2n+1-1=1/2(A2n-1-1)と変形していました。こちらの式は、A2n+1とA2n-1は連続していませんよね? 私の、特性方程式の使い方間違っているんでしょうか? よくわからないので、教えていただきたいです。お願いします!

  • だれか隣接3項間漸化式について教えてください。

    中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。  漸化式  A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An    n>=1 ・・・(1)  を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。  そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの  漸化式を満たす数列があるのか、ということです。  結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を  公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の  ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局    An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1    n>=1  ・・・(2)    An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1    n>=1  ・・・(3)  という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、    An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1     n>=1  となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は    An=-1×3^n-1+3×2^n-1     n>=1 ・・・(4)  となりました。  これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの  証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を  満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが  一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。  (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが)  このあたりの事情がよく判りません。  どなたか解説して戴けないでしょうか。

その他の回答 (4)

  • 回答No.5

添え字が行動しやすいので添え字に()をつけて表しました。 >何故数列{a(n)-α}なのでしょう?数列{a(n+1)-α}ではないのでしょうか? これは一般項の添え字を通常{b(n)}のように(n+1)でなく n で書くのが慣習になっているからです。 別に {b(n+1)},n=0,1,2,3,... と書いても {b(n)},n=1,2,3,4,... と書いても内容は同じです。 {b(n)}のn自体は n=0,1,2,3,...の場合も n=1,2,3,4,...の場合も ありえます。 これは問題の出題者の好みの問題ですね。問題を解く立場の受験生は問題作成者に意図するところに合わせて柔軟に考えればいいですね。 なお、 a(n+1) -α=p(a(n) -α) この式で 改めて b(n+1)=a(n+1)-α b(n) =a(n) -α とおき 数列{b(n)}と置けば b(0) b(1)=pb(0) b(2)=pb(1)=p^2 b(0) b(3)=pb(2)=p^3 b(0) ... b(n)=p^(n) b(0) となりますので {b(n)}は等比数列とになるということですね。 この方法は大抵の受験問題集に載っているやり方ですね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返信が遅くなりました!大変参考になりました、どうもありがとうございました!

  • 回答No.3
  • tarame
  • ベストアンサー率33% (67/198)

数列 a1,a2,a3,……,an,…… において n番目の項 an を第n項といい、この数列を {an} と表します。 また、第n項 an をnの式で表したものを「一般項」といいます。 さて、数列を {an} と表すときですが、 {an} の中の an は、一般項(第n項)でなければなりません。 (例えば 1,3,5,7,9,…… という数列は {2n-1} と表します) したがって、数列 {an+1-α} という表し方は間違いとなります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返信が遅くなりました!なるほど、どうもありがとうございました!

  • 回答No.2
  • tas-n
  • ベストアンサー率0% (0/1)

リック先生です。お答えしますね。式の変形の最終行でan+1-α=p(an-α)まで導かれてますね。この式から、等比数列って読み取ることで式の役目は一応終わっているのです。ご質問の{an+1-α}ではないのでしょうか?というのは、式をそのまま引きずっているみたいですね。等比数列って式から確認できたら、あとは、式を引きずらないで一般式の第n項で説明してあるのですよ。気持ちはよ~くわかります。お分かりですか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返信が遅くなりました!リック先生ありがとうございました!

  • 回答No.1

大きな問題ではありません。あなたが考えているものでも良いと思います。でも、数列 an と 数列a(n+1)は同じものを指しているので、項としてのanとa(n+1)は違いますが、数列(の一般式)として表記するのには問題ない(どちらでもいい)と思います。初項がa1-αで第n項がan- αで表すことができるのですから、数列anに対しても、数列an-αの方が考えやすいと思います(対応を考えてご覧なさい)のでより自然な感じではあると思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返信が遅くなりました!どうもありがとうございました!

関連するQ&A

  • 数列の漸化式

    数列の漸化式のひとつの a1=a an+1=pan+q という場合は an+1-c=p(an-c) としてcの値を求めますが、さっき問題を解いていて気付いたのですが、cの値を求める時に、an+1とanをcに置き換えて c=pc+qとして方程式を解くとcの値が求まってしまうのですがなぜですか? 5問位やって確かめたので偶然ではないと思うのですが。学校の教科書にも載っていません。

  • だれか漸化式について教えてください(第二段)

    簡単の為以下の例を採りあげます。    An+1=2An-1 ・・・・・(1)  A1=2、n>=1   (1)式は    An+1-1= 2(An-1)・・・・・(2)  と変形できるので数列{An-1}は公比2の等比数列で  あることが判ります。  {An-1}の初項はA1-1=2-1=1  したがって数列{An-1}の一般項は   An-1=1・2の(n-1)乗 ・・・・・(3)    を満たし、一般項Anは   An=2の(n-1)乗+1・・・・・(4)  となります。  ------------------  読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。   疑問1.(2)式は“An+1-1”が公費2の等比数列である        ことを示しているのではないか?        どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい        ので“An+1-1”としたほうがよいと思うのです。   疑問2. 数列{An-1}の初項は1なので(3)式が成り立つと        なっていますが、nに1、2、3、・・・と代入して        “An-1”を計算していきました。すると        1、2、4、8、・・・となりますした。        公式An=nの(n-1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数        (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた        のに突然等比数列になっています。        それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。        スッキリ納得できる方法はないでしょうか。  

  • 漸化式の特性方程式について

     数列において、第n項をA(n)と表記いたします。  漸化式A(n+1)=2A(n)+1・・・(1)かつA(1)=3を満たす数列のA(n)を求めなさい。という問題について、p=2p+1(←特性方程式)を解き、そのpの値を{A(n+1)-p}=2{A(n)-p}に代入することで、数列A(n)-pは公費2の等比数列で・・・と解きますよね?なぜ特性方程式では、A(n+1)、A(n)ともにpとしてよいのでしょうか?どなたかご存知の方お見えでしたらよろしくお願いいたします。  また、その答えとして、(1)式を{A(n+1)-p}=r{A(n)-p}・・・(2)の形にできるとして導くという方法が有名だと思いますが、なぜ、(1)式は(2)式のように等比数列の形に直せると仮定できるのでしょうか?よろしくお願いいたします。

  • 漸化式(隣接2項間)・a_n+1=pa_n+q

    漸化式(隣接2項間)の問題・a_n+1=pa_n+q 隣接2項間の漸化式の問題で 例)α=-1より、a_(n+1)+1=3(a_n+1) これがなぜ「数列(a_n+1)が、初項a_1+1=2,公比3の等比数列であることを表している」のでしょうか? どなたかわかりやすくお願いします。

  • 漸化式と数学的帰納法

    問題集をやっていたらわからないところ2つがあったで誰かわかる方教えてください。途中までやったのですがわからなくなりました。 数列はa(1)、 a(2)、と表しています。 一般項を求めなさいという問題で (1)a(1)=2,a(n+1)=a(n)+n^2-2n(n=1,2,3…) (2)a(1)=2,a(n+1)=3(an)-1(n=1,2,3…) の問題ですが途中まで解いたのを書いておきます。 (1)漸化式よりすべての自然数kについて次の式が成り立つ。 a(k+1)-a(k)=k^2-2k よって数列{a}の階差数列の第k項はk^2-2kであるから n≧2 a(n)=a(1)+Σ{k^2-2k} ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 Σはn-1のk=1です。 (2) n=k+1とすると a(k+2)=3a(k+1)-1 n=kとすると  a(k+1)=3a(k)-1 この2辺の辺々と引くと a(k+2)-a(k+1)=3{a(k+1)-a(k)}…(1) 数列{a(n)}は階差数列を{b(n)}とすると(1)は b(n+1)=3b(k) となる。{b(n)}は公比3の等比数列であり、また、 b(1)=a(2)-a(1)=5-2=3 b(k)=3・3^k-1 したがって、n≧2のとき a(n)=a(1)+Σb(k)=2・Σ3・3^k-1 ここまで解けたたのですがここらかがわかりません。 Σはn-1のk=1です。 両方とも途中までは一応やったのですが途中までもあっているかわかりません。 誰か判る方がいましたら教えてください。

  • 漸化式における特性方程式

    はじめまして。 現在高校三年生で数学を勉強している文系です。 漸化式の分野で、「特性方程式」というものが出てきました。 参考書や検索して出たページ、過去の質問を参照しましたが、 途中までは理解できるものの、最後のところが理解できません。 というのは、 a_(n+1) = p(a_n) + q …(1) という漸化式が与えられた時、 a_(n+1) - α = β(a_n - α)…(2)  と変形できればこの数列は等比数列としてあらわすことができ、 a_nの一般項も求められる。 (2)を展開して係数比較をしていくと P=β , -αβ+α=q より αは x=px+q の解であることがわかる。 これを特性方程式と呼ぶ ここまでは理解できました。(もしおかしいところがあったら指摘してください) しかしその後の このαの解を(1)の漸化式の両辺から引くと… という個所から先が理解できません。 たしかに、(2)の a_(n+1) - α = β(a_n - α) という式でαに解を入れれば一般項を求められるのはわかりますが (1)の式 a_(n+1) = p(a_n) + q の両辺からαを引くと、 a_(n+1) - α = p(a_n) + q - α で(2)の式とは異なってしまい、等比数列と見ることはできなく なってしまいませんか? もしかしたらすごく単純なところを見逃しているのかもしれませんが、 この質問についての回答、よろしくお願いします。

  • 漸化式の特性方程式

    いくつか質問があります。わかるものだけでもいいので回答よろしくお願いします。 ・「特性方程式」の解釈は、「特性を表す方程式」で合ってますか? ・なぜa_(n+1)=3a_n+2の特性方程式がc=3c+2なのですか? ・なぜ2a_(n+2)=3a_(n+1)-a_nの特性方程式が2x^2=3x-1なのですか? ・なぜ特性方程式の解である平衡値を漸化式の両辺から引けば、二項漸化式を等比数列型に変形できるのですか?

  • 漸化式の問題です。

    数Bの漸化式の問題です。 Pを正の定数とする。数列{An}はa1=1 An+1=pAn+p^(-n) (n=1,2,3...) を満たす。 このときAnをpとnを用いて表せ。 帰納法以外で解く方法を教えてください!!

  • 高校二年・漸化式の変形

    高校二年の数学Bで、漸化式の変形について質問です。 以下aの右側の≪≫内は小さく右下についているものとして見て下さい。 「一般にp,qが定数でp≠1のとき、漸化式  a≪n≫=pa≪n≫+q を  a≪n+1≫-k=p(a≪n≫-k) と変形できたとすると、数列a≪n≫の各項から定数kを引いた数列{a≪n≫-k}は公比pの等差数列となることが分かる」 という文章がありました。 この文章の意味がさっぱりわかりません。 どなたかわかりやすく説明頂けませんでしょうか? よろしくお願いします。

  • 数列 漸化式

    A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1) という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1   となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか? 回答お願いいたします。