漸化式の…

質問

漸化式のα＝ｐα＋ｑを利用する方程式の教科書説明で
「ｐ、ｑを定数、ｐ≠１として漸化式が
　　　　　　ａn+1＝ｐａn＋ｑ
で表されている時、この式がある値αを用いて
　　　　　　ａn+1－α＝ｐ（ａn－α）
と変形できたとすると、数列{ａn－α}は公比ｐの等比数列になる。」ってところで、何故数列{ａn－α}なのでしょう？数列{ａn+1－α}ではないのでしょうか？

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

簡単な等比数列を使って考えてみるとわかるかもしれません。
たとえば初項3、公比2の数列をBnとします。

Bn = 3 × 2^(n-1) 　（2^nは、2のn乗）

nは自然数として使います。
この数列の第1～4項まで書いてみると、

B1 = 3
B2 = 6
B3 = 12
B4 = 24

ある項の数値を2倍（というより公比倍）すると、
次の項の数値になりますよね？
この関係を書いてみると、

B1 × 2 = B2
B2 × 2 = B3
B3 × 2 = B4

となってます。
これをnを使って表すと、nは自然数ですから

Bn × 2 = Bn+1
（Bn-1 × 2 = Bn　では駄目です。n=1の時に式が成立しません）

ですよね？
この式は「Bn+1を作るには、Bnを2倍する」というよりは、
「Bnを2倍すると、Bnの次の項であるBn+1が作れる。」
と考えた方が良いかもしれません。

等比数列Bnの関係はBn × 2 = Bn+1、
整理して

Bn+1 = Bn × 2

という関係で表せました。
と言うことは、

ａn+1 - α＝ｐ ( ａn - α ）

に関しても、数列 {an - α} が等比数列という事にはなりませんか？

あともう一つ、数列 {an+1 - α} を等比数列とすると
まずい（というより面倒くさくなる）点を書いておきます。
前の例でBnを出しました。この数列Bnは等比数列ですので、
Bn+1に関しても等比数列だと言えます。
この場合、初項6、公比2の数列になりますよね？
ある数列Cnが等比数列なら、数列Cn+1も等比数列です。
これは等比数列の一般項の形から分かると思います。
では、ある数列Dn+1が等比数列なら、数列Dnも等比数列だと
言えるでしょうか？
答えはノーです。
Dn+1 = 3 × 2^nとしてみましょう。すると

D2=6
D3=12
D4=24

です。それではD1はどうですか？
nに0を代入してD1を求めることはできません。nは自然数ですから。
D1 = 3という事が証明できないと、数列Dnが等比数列だとは言えません。
しかしD1 = 3を証明する術が、この場合、全くありません。
例えばDnを

Dn = 1　　　　　　　　（n = 1）
Dn = 3 × 2^(n-1)　　 （2 ≦ n)

というふうに数列Dnを定めることもできます。
この時Dnは等比数列にはなっていませんよね？
なのでDn+1が等比数列でも、Dnは等比数列ではない場合があります。

何を言いたかったのかというと、 {an+1 - α} を等比数列とし、
そのまま解いてan+1の一般項を求めたとします。
たとえば

an+1 = 2^( n + 1 ) + 3( n + 1 )

となったとします。
この時、nの部分を(n-1)に置き換えて

an = 2^n + 3n ―――― （＊）

としてanの一般項を求めるかもしれませんが、これでは
まだ不完全です。
このanの一般項は「nが2以上の自然数」となります。
これはさっきの
「nに0を代入してD1を求めることはできません。」
というのと同じ理由からです。

an+1 = 2^( n + 1 ) + 3( n + 1 )

のnに0を代入してa1を求めることはできません（nは自然数なので）。
この場合、n=1でも（＊）式が成り立つ事を証明する必要があります。

なので {an - α} が等比数列とした方が、手間が少なくなるので楽です。
テストの問題用紙に書く量が減って時間が短縮でき、その分
他の問題を解く時間を確保できるので一石二鳥です。
まあ、n=1でも成り立つ事を証明するのはそれほど大変というわけでは
ないんですが…。

お礼

返信が遅くなりました！丁寧に教えていただいて、どうもありがとうございました！

回答No.5

oyaoya65

添え字が行動しやすいので添え字に()をつけて表しました。
＞何故数列{ａ(n)－α}なのでしょう？数列{ａ(n+1)－α}ではないのでしょうか？
これは一般項の添え字を通常{b(n)}のように（n+1）でなく n　で書くのが慣習になっているからです。
別に
{b(n+1)},n=0,1,2,3,...
と書いても
{b(n)},n=1,2,3,4,...
と書いても内容は同じです。

｛b(n)｝のn自体は
n=0,1,2,3,...の場合も
n=1,2,3,4,...の場合も
ありえます。
これは問題の出題者の好みの問題ですね。問題を解く立場の受験生は問題作成者に意図するところに合わせて柔軟に考えればいいですね。

なお、
ａ(n+1) －α＝ｐ(ａ(n) －α）
この式で
改めて
b(n+1)＝ａ(n+1)－α
b(n)　＝ａ(n)　－α
とおき
数列{b(n)}と置けば
b(0)
b(1)=pb(0)
b(2)=pb(1)=p^2 b(0)
b(3)=pb(2)=p^3 b(0)
...
b(n)=p^(n) b(0)
となりますので
{b(n)}は等比数列とになるということですね。

この方法は大抵の受験問題集に載っているやり方ですね。

お礼

返信が遅くなりました！大変参考になりました、どうもありがとうございました！

回答No.3

tarame

数列　a1,a2,a3,……,an,……　において
ｎ番目の項 an を第ｎ項といい、この数列を {an} と表します。
また、第ｎ項 an をｎの式で表したものを「一般項」といいます。
さて、数列を {an} と表すときですが、
{an} の中の an は、一般項(第ｎ項)でなければなりません。
（例えば　1,3,5,7,9,……　という数列は　{2n-1} と表します）
したがって、数列 {an+1－α} という表し方は間違いとなります。

お礼

返信が遅くなりました！なるほど、どうもありがとうございました！

回答No.2

tas-n

リック先生です。お答えしますね。式の変形の最終行でａn+1－α＝ｐ（ａn－α）まで導かれてますね。この式から、等比数列って読み取ることで式の役目は一応終わっているのです。ご質問の{ａn+1－α}ではないのでしょうか？というのは、式をそのまま引きずっているみたいですね。等比数列って式から確認できたら、あとは、式を引きずらないで一般式の第ｎ項で説明してあるのですよ。気持ちはよ～くわかります。お分かりですか？

お礼

返信が遅くなりました！リック先生ありがとうございました！

回答No.1

Sbacteria

大きな問題ではありません。あなたが考えているものでも良いと思います。でも、数列　an と　数列a(n+1)は同じものを指しているので、項としてのanとa(n+1)は違いますが、数列（の一般式）として表記するのには問題ない（どちらでもいい）と思います。初項がa1-αで第ｎ項がan-
αで表すことができるのですから、数列anに対しても、数列an-αの方が考えやすいと思います（対応を考えてご覧なさい）のでより自然な感じではあると思います。

お礼

返信が遅くなりました！どうもありがとうございました！