高校二年・漸化式の変形

質問

高校二年の数学Bで、漸化式の変形について質問です。

以下ａの右側の≪≫内は小さく右下についているものとして見て下さい。

「一般にp,qが定数でｐ≠１のとき、漸化式
　ａ≪ｎ≫＝ｐａ≪ｎ≫＋ｑ
を
　ａ≪ｎ＋１≫－ｋ＝ｐ（ａ≪ｎ≫－ｋ）
と変形できたとすると、数列ａ≪ｎ≫の各項から定数ｋを引いた数列｛ａ≪ｎ≫－ｋ｝は公比ｐの等差数列となることが分かる」

という文章がありました。
この文章の意味がさっぱりわかりません。

どなたかわかりやすく説明頂けませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

k_train_9999 · ベストアンサー

#2で回答したものですが、
１）kは項数nに関係しないので、a<<n>>がa<<n+1>>になると、b<<n>>はそれにともなってb<<n+1>>になる、ということでよろしいのでしょうか？
　そういうことです。
２）それと、b<<n+1>>=p*n<<n>>はb<<n+1>>=p*b<<n>>ではありませんか？
　申し訳ないです。あわてて書いたので間違っていました。ｂ<<n+1>>=p*b<<n>>です。

　ちなみにa<<n+2>>+α＊a<<n+1>>+β＊a<<n>>=0というような三項間漸化式も似たように出来て
　　a<<n+2>>-ω＊a<<n+1>>=γ＊（a<<n+1>>-ω＊a<<n>>)
という風に変形して解くこともできます。二項間漸化式を完璧に理解したら、参考書とかでチェックしてみてください。
　このやり方は大学に入ってからもし数学をやるなら微分方程式とかでも応用が出来ます。

回答No.4

sunasearch

＞a<<n+1>>-k=b<<n+1>>
＞を自分で説明できません。

bn = an - k

とおいた式は、
すべての自然数ｎに対して成り立つわけですから、

b1 = a1 - k
b2 = a2 - k
b3 = a3 - k
...
bn-1 = an-1 - k
bn = an - k
bn+1 = an+1 - k

となります。

お礼

お礼が大変遅れてすみませんでした。
皆様どうもありがとうございました。

回答No.2

k_train_9999

a<<n>>-k=b<<n>>とおくと・・・・（１）
　a<<n+1>>-k=b<<n+1>>は大丈夫でしょうか。（ｋはｎによらないのでこう表せる。）

　そうおいてみれば

　a<<n+1>>-k=p(a<<n>>-k)は

　b<<n+1>>=p*n<<n>>　となりますよね。

　これからｂ<<n>>は公比ｐの等差数列になります。

　ここでb<<n>>を （１）より元に戻せば

　数列ａ≪ｎ≫の各項から定数ｋを引いた数列｛ａ≪ｎ≫－ｋ｝は公比ｐの等差数列となることが分かる

　ていうことがわかります。これで大丈夫でしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

わかったつもりではあるのですが、
a<<n+1>>-k=b<<n+1>>
を自分で説明できません。
kは項数nに関係しないので、a<<n>>がa<<n+1>>になると、b<<n>>はそれにともなってb<<n+1>>になる、ということでよろしいのでしょうか？

それと、b<<n+1>>=p*n<<n>>はb<<n+1>>=p*b<<n>>ではありませんか？

以上二点、正しいかどうか補足をお願いできませんか？

お願いします。

回答No.1

sunasearch

ａ≪ｎ≫－ｋをｂ≪ｎ≫とおくと、

ａ≪ｎ＋１≫－ｋ＝ｐ（ａ≪ｎ≫－ｋ）は

ｂ≪ｎ＋１≫＝ｐｂ≪ｎ≫と書けますね。

上の式は、

b2 = p * b1,
b3 = p * b2,
..
bn = p * bn-1
bn+1 = p * bn

を表しますから、
公比pの＜等比＞数列になるかと思います。

お礼

お早い回答ありがとうございます。
ようやくわかりました。
これで予習が出来ます。ありがとうございました。