数列(漸化式)

質問

a[1]＝1,a[2]＝1,a[n+2]＝2a[n+1]+a[n](n＝1,2,3,・・・・)
で与えられる数列{a[ｎ]}がある。
a[n]の各項を3で割ったときの余りをr[n]とする。

(1)a[5]＝アイ,a[6]＝ウエ,a[7]＝オカであり
r[5]＝キ,r[6]＝ク,r[7]＝ケである。

(2)r[1]からr[100]までのうち、0であるものはコサ項ある。
また
Σ[k＝1,100]r[k]＝シスセ
である。
(3)Oを原点とする座標平面上の点
(cos{(2πa[n])/3},sin{(2πa[n])/3})
を考える。
これから点は、どのようなnに対しても次の3点P,Q,Rのうちのどれかに一致する。
P(ソ,タ),Q(-チ/ツ,√テ/ト),
R(-ナ/二,-√ヌ,ネ)
このうち1≦n≦100を満たし、点Qとなるようなnはノハ個ある。

という問題です。

与えられた漸化式にn＝1,2,3,・・・
を代入して
{a[n]}:(1,1,3,7,17,41,99,239,・・・)
{r[n]}:(1,1,0,1,2,2,0,・・・)
となり数列{r[n]}の規則性が全くつかめません。

よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>1≦n≦100を満たし、点Qとなるようなnが分かりません。

解いてないですけど，この問題の本質は
100個調べないで「8個」だけで処理できる
（ただし，正確には「8個」が12個に，残りの「4個」）
ということなので
「8個」だけ考えて，Qとなるnの個数を調べて12倍，
そして最初の「4個」（残りの4個というできか）も
チェックすれば完了です

お礼

回答ありがとうございました。
合っているかどうかは分かりませんが、答えは出せました。
ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

>{r[n]}:(1,1,0,1,2,2,0,・・・)
>となり数列{r[n]}の規則性が全くつかめません。

おしいっ！もうちょっと頑張れば規則がでてくるのに．
1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, ....
もうお分かりでしょう？

お礼

回答ありがとうございます。
kabaokabaさんのおっしゃった通りになりました。
(3)のP,Q,Rの座標までは求めることが出来ましたが、
1≦n≦100を満たし、点Qとなるようなnが分かりません。
よろしければ、教えてください。

回答No.1

noname#22058

n=12～15あたりまで調べてみると、
何らかの規則性が見つかるのではないでしょうか。

お礼

分かりました。調べてみます。