漸化式からの数列{a(n)}

質問

漸化式a(1)=0,a(n+1)=2a(n)+1 (N=1,2,3........)によって数列{a(n)}を定めるときa(4)を求めよ。

この問題の解き方がいまだに理解できません。
ご協力よろしくお願いします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

a(1)=0,a(n+1)=2a(n)+1
a(2)=2a(1)+1=1
a(3)=2a(2)+1=3
a(4)=2a(3)+1=7

一般項a(n)を求めてからa(4)を求めるのであれば以下のように計算する。
入試ではこのケースがほとんどである。

a(n+1)=2a(n)+1　　　(1)
これを
a(n+1)+p=q(a(n)+p) (2)
という形に整理することを考える。これはa(n)+pが等比級数になるように意図している。
(2)より
a(n+1)=qa(n)+pq-p
(1)と比較して
q=2
pq-p=1
p=1
ゆえに
a(n+1)+1=2(a(n)+1) =2^2(a(n-1)+1)=.....=2^n(a(1)+1)=2^n (a(1)=0を代入）
a(n+1)=2^n-1
a(n)=2^(n-1)-1
a(4)=2^3-1=7

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

補足

>a(n+1)+1=2(a(n)+1) =2^2(a(n-1)+1)=.....=2^n(a(1)+1)=2^n (a(1)=0を代入）
a(n+1)=2^n-1
a(n)=2^(n-1)-1
a(4)=2^3-1=7

ここらあたりをもう少し教えていただけると助かります。
a(n+1)+1=2(a(n)+1)
まではなんとなく分かるのですが
=2^2(a(n-1)+1)
以下が分からないです。

回答No.3

bran111

#1,2です。

等比数列b(n)は次式で定義されます。教科書確認のこと。

b(n)=b1・r^(n-1)　　（**1）

ここでrは項比、b1は初項です。

（**1）より

b(n+1)=b1・r^n=r×[b1・r^(n-1)]=rb(n)

簡単に言うと１枚が２枚、２枚が４枚、４枚が８枚、.....というのが等比数列です。
一つ前の数に項比2を描ければその数ということです。これがb(n)=2b(n-1)です。（r=2)

お礼

回答ありがとうございました。
なんとなくですがわかりました。
ベストアンサーにさせて頂きました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.2

bran111

#1です。

＞a(n+1)+1=2(a(n)+1) (*1)

b(n)=a(n)+1とおくと(*1)は

b(n+1)=2b(n)

という等比数列になっていることは解りますか。

b(n)=2b(n-1)
b(n-1)=2b(n-2)
....
を次々代入していくと

b(n+1)=2b(n)=2^2b(n-1)=2^3b(n-2)=.....=2^nb(1)
となります。

a(n)にもどすと(*1)より

a(n+1)+1=2[a(n)+1] =2^2[a(n-1)+1]=2^3[a(n-2)+1]=.....=2^n[a(1)+1]

となります。

補足

>b(n+1)=2b(n)

という等比数列になっていることは解りますか。

何度も申し訳ないです。ここが分からないです。