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漸化式からの数列{a(n)}

漸化式a(1)=0,a(n+1)=2a(n)+1 (N=1,2,3........)によって数列{a(n)}を定めるときa(4)を求めよ。 この問題の解き方がいまだに理解できません。 ご協力よろしくお願いします。

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  • bran111
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a(1)=0,a(n+1)=2a(n)+1 a(2)=2a(1)+1=1 a(3)=2a(2)+1=3 a(4)=2a(3)+1=7 一般項a(n)を求めてからa(4)を求めるのであれば以下のように計算する。 入試ではこのケースがほとんどである。 a(n+1)=2a(n)+1   (1) これを a(n+1)+p=q(a(n)+p) (2) という形に整理することを考える。これはa(n)+pが等比級数になるように意図している。 (2)より a(n+1)=qa(n)+pq-p (1)と比較して q=2 pq-p=1 p=1 ゆえに a(n+1)+1=2(a(n)+1) =2^2(a(n-1)+1)=.....=2^n(a(1)+1)=2^n (a(1)=0を代入) a(n+1)=2^n-1 a(n)=2^(n-1)-1 a(4)=2^3-1=7

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。 これからもよろしくお願いします。

質問者からの補足

>a(n+1)+1=2(a(n)+1) =2^2(a(n-1)+1)=.....=2^n(a(1)+1)=2^n (a(1)=0を代入) a(n+1)=2^n-1 a(n)=2^(n-1)-1 a(4)=2^3-1=7 ここらあたりをもう少し教えていただけると助かります。 a(n+1)+1=2(a(n)+1) まではなんとなく分かるのですが =2^2(a(n-1)+1) 以下が分からないです。

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  • 回答No.3
  • bran111
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#1,2です。 等比数列b(n)は次式で定義されます。教科書確認のこと。 b(n)=b1・r^(n-1)  (**1) ここでrは項比、b1は初項です。 (**1)より b(n+1)=b1・r^n=r×[b1・r^(n-1)]=rb(n) 簡単に言うと1枚が2枚、2枚が4枚、4枚が8枚、.....というのが等比数列です。 一つ前の数に項比2を描ければその数ということです。これがb(n)=2b(n-1)です。(r=2) 

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。 なんとなくですがわかりました。 ベストアンサーにさせて頂きました。 これからもよろしくお願いします。

  • 回答No.2
  • bran111
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#1です。 >a(n+1)+1=2(a(n)+1) (*1) b(n)=a(n)+1とおくと(*1)は b(n+1)=2b(n) という等比数列になっていることは解りますか。 b(n)=2b(n-1) b(n-1)=2b(n-2) .... を次々代入していくと b(n+1)=2b(n)=2^2b(n-1)=2^3b(n-2)=.....=2^nb(1) となります。 a(n)にもどすと(*1)より a(n+1)+1=2[a(n)+1] =2^2[a(n-1)+1]=2^3[a(n-2)+1]=.....=2^n[a(1)+1] となります。

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質問者からの補足

>b(n+1)=2b(n) という等比数列になっていることは解りますか。 何度も申し訳ないです。ここが分からないです。

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