だれか漸化式について教えてください。

質問

もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を
勉強しています。
いま『なるほど高校数学　数列の物語』と云う本を読んでいます。

　漸化式のところでつまずいて前に進めません。
　どなたか教えてもらえないでしょうか。

　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　初項がA1、An+1=PAn＋Q　n＞1　P、Qは定数
　の漸化式で確認しておきましょう。
　An+1－α=P(An－α)　つまり　An+1=PAn－Pα＋α
　と与えられた漸化式　　　　　　 An+1=PAn＋Q
　を見て、定数項を比べると　　　Q=－Pα＋α=α(1－P)
　となり、この式から　　　　　　　α=Q／(1－P)・・・・・(1)
　とすればよいことが判ります。このとき数列{An－α}は
　An+1－α=P(An－α)より、公比Pの等比数列となり、その
　初項は
　　A1－α=A1－Q／(1－P)・・・・・・・(2)

　なので
　　An－Q／(1－P)=(A1－Q／(1－P)）×Pのn-1乗・・・・(3)

　よって
　　An=(A1－Q／(1－P))×Pのn-1乗＋Q／(1－P)・・・・・(4)

　と一般項が求まります。

　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　数列{An－α}の公比はPになることは直感的に判るのですが
　初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが
　最後に求まったのはAnの一般項でした。
　それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果
　です。
　ここでの漸化式はAn+1－α=P(An－α)の形式に持ち込めたら
　公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項
　が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ
　つかめません。
　解説のほどよろしくお願いいたします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

最終的に求めたいのはAnの一般項であることはおわかりでしょうか。
その途中経過として、数列{Anーα}が等比数列であることがわかったのですよね。
そうすると、数列{Anーα}の
初項はA₁ーα
公比はP
であることから、数列{Anーα}の一般項が求まり、それにαを加えることで
数列{An}の一般項が求まります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
解説を拝読しまして目から鱗とはまさにこのことかと思いました。
で何となくその日暮らしをしていたのですが、脳が承服しません。
また読本を電車のなかでシゲシゲみていたのですが、やっぱり
具体的に解っていないことが幾つかありました。
近日中に「だれか漸化式について教えてください」の第二段を
投稿しますので、よろしかったらまた解説をお願い致します。

回答No.4

dennchan

>初項は
>　　A1－α=A1－Q／(1－P)・・・・・・・(2)
>
>なので
>　　An－Q／(1－P)=(A1－Q／(1－P)）×Pのn-1乗・・・・(3)

　この部分の流れがよく理解できないという質問でしょうか。

　ここの流れについてお話をしてみたいと思います。

　まず、一言でくくってしまうと、「数学的帰納法」の証明の仕方がこの流れになります。

　　「数学的帰納法」も「漸化式」も考え方は全く同じものです。
１．n = 1　の時が正しい。ことを前提とする。
２．n = k　の時が正しいものと仮定する。
３．上記の設定の下で、n = k+1 の時正しいことを導く。
（４．n = 1 の時も正しいことがわかる。）
　このとき、一般項が正しいことの証明が完成する。

　４．のn = 1 の時も一般項で成り立つことは、必ずしも必須ではない、と私は考えています。
そのような時は、

An = 一般項　（n>1）

のようなただし書きがつくことになるでしょう。

　では、なぜ、１．の n=1 の場合の説明が必要になるのでしょうか？

　たとえ話で説明してみようと思います。

　「たくさんの人が一列に並んでいて、後ろの人に肩を叩かれたら、自分は前の人の肩を叩く。」
というルールがあったとします。

　２．n = k番目の人が後ろの人から肩を叩かれた。と仮定します。

　３．n = k番目の人が、(k+1)番目の人の肩を叩きます。

　これで連鎖が完成します。

　がしかし、このままでは、スタートがありません。
初めのひと（n=1　の人）が2番目の人の肩を叩くことができません。
なぜなら、1番目の人は誰からも肩を叩かれないからです。

　連鎖を作るルールだけでは、連鎖を実行することができないのです。

　ダメ押しにもうひとつ。
　「悪霊付きの人が前の人の肩を叩くと、叩かれた人に悪霊が乗り移る。」
というルールを考えてみましょう。

　はじめの人に悪霊がついていたことが証明されなければ、
このルールがあったとしても、誰にも悪霊はつかないことになります。

　はじめが正しくjなければ、あとの全ては間違いということになるわけです。

　これが、数学的帰納法の考え方だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。
漸化式の解法を理解するには、まず数学的帰納法と云う
マクロ的な定理を受入れる必要があるのですね。
さきにご回答くださった皆さまの回答から電車のなかなどで
繰返し本をみて考えていたのですが、最近になり、ようやく
解りました。
何が解ったかと云うと何が解らないのかが具体的になって
きたのです。
近日中に「だれか漸化式について教えてください」の第二段を
投稿しますので、よろしかったらまた解説のほどお願い致します。

回答No.3

151A48

｛Ａn｝の初項がＡ0なら，｛Ａn－α｝の初項は，Ａn－αです。
（４）n=1ならＡ0で当たり前ということですが，というより，当たり前の結果にならないと困るのでは？

趣旨の解し方は正しいと思います。

イメージ的にはAnが
y=px+q と　y=x の交点のx座標（これがα）に近づいていく感じです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
特性方程式のページにちょっと立ち寄りましたがＸＹ座標に１次関数や
２次関数で表現されていてお馴染みの方程式が並んでいましたので
ほっとしました。
でもいまひとつすっきりしないので、もとのページに戻って悶絶しています。
解らないところが具体的になってきましたので再度投稿するつもりです。
またよろしくお願い致します。

回答No.1

spring135

問題に

＞初項がA1、An+1=PAn＋Q　n＞1　P、Qは定数

となっている以上、初項はA1であり、それ以外が出てくればそれは間違いです。