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漸化式の問題です。

数Bの漸化式の問題です。 Pを正の定数とする。数列{Ａｎ}はa1=1 An+1＝ｐAn＋ｐ＾(-n) (n=1,2,3...) を満たす。 このときAnをｐとｎを用いて表せ。 帰納法以外で解く方法を教えてください!!

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  • Meowth
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a1=1 A[n+1]＝ｐAn＋ｐ＾(-n) (n=1,2,3...) a2=p+1/p pA[n+2]＝p^2A[n+1]＋ｐ＾(-(n))(n=1,2,3...) A[n+1]＝ｐAn＋ｐ＾(-n) pA[n+2]＝(p^2+1)A[n+1]-ｐAn(n=1,2,3...) A[n+2]-pA[n+1]＝1/p(A[n+1]-ｐAn) A[n+2]-A[n+1]/p＝p(A[n+1]-An/p) p=1のとき A[n+1]＝An+1 (n=1,2,3...) A[n]=n p≠1のとき A[n+1]-pA[n]＝1/p^n A[n+1]-A[n]/p=p^n (p-1/p)A[n]=p^n-1/p^n A[n]=(p^n-1/p^n)/(p-1/p)

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わかりやすい解答ありがとうございました。m(_ _*)m

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  • 回答No.3

p = 1 のとき、A1=1, An+1 = An + 1　の等差数列なので、An = n 以下、p≠1 とする An+1 = p An + p^(-n)　　　・・・ (1) を、等比数列の形 An+1 + α p^(-(n+1)) = p { An + α p^(-n) }　・・・ (2) で表せないか調べてみる。(2) を変形すると、 An+1 = p An + p^(-n) ( p - p^(-1) ) α となるから、(1) と比較して、 ( p - p^(-1) ) α = 1 α = 1 / ( p - p^(-1) ) = p / ( p^2 - 1 ) とすれば (1) から (2) へ変形できることが分かります。ここで (2) において、 Bn = An + α p^(-n) とおけば、Bn は公比 p の等比数列で、その初項は B1 = A1 + α p^(-1) = 1 + (1 / (p^2 - 1)) = p^2 / ( p^2 - 1) よって、 Bn = p^(n-1) B1 = p^(n+1) / (p^2 - 1) An = Bn - α p^(-n) 　　= { p^(n+1) - p^(-n+1) } / (p^2 - 1)

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  • 回答No.2
  • koko_u_
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p^(n+1) で割るのが普通かな？

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