• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

漸化式の問題です。

数Bの漸化式の問題です。 Pを正の定数とする。数列{An}はa1=1 An+1=pAn+p^(-n) (n=1,2,3...) を満たす。 このときAnをpとnを用いて表せ。 帰納法以外で解く方法を教えてください!!

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数78
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • Meowth
  • ベストアンサー率35% (130/362)

a1=1 A[n+1]=pAn+p^(-n) (n=1,2,3...) a2=p+1/p pA[n+2]=p^2A[n+1]+p^(-(n))(n=1,2,3...) A[n+1]=pAn+p^(-n) pA[n+2]=(p^2+1)A[n+1]-pAn(n=1,2,3...) A[n+2]-pA[n+1]=1/p(A[n+1]-pAn) A[n+2]-A[n+1]/p=p(A[n+1]-An/p) p=1のとき A[n+1]=An+1 (n=1,2,3...) A[n]=n p≠1のとき A[n+1]-pA[n]=1/p^n A[n+1]-A[n]/p=p^n (p-1/p)A[n]=p^n-1/p^n A[n]=(p^n-1/p^n)/(p-1/p)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わかりやすい解答ありがとうございました。m(_ _*)m

関連するQ&A

  • だれか漸化式について教えてください。

    もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。  漸化式のところでつまずいて前に進めません。  どなたか教えてもらえないでしょうか。  -------------------  初項がA1、An+1=PAn+Q n>1 P、Qは定数  の漸化式で確認しておきましょう。  An+1-α=P(An-α) つまり An+1=PAn-Pα+α  と与えられた漸化式       An+1=PAn+Q  を見て、定数項を比べると   Q=-Pα+α=α(1-P)  となり、この式から       α=Q/(1-P)・・・・・(1)  とすればよいことが判ります。このとき数列{An-α}は  An+1-α=P(An-α)より、公比Pの等比数列となり、その  初項は   A1-α=A1-Q/(1-P)・・・・・・・(2)  なので   An-Q/(1-P)=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗・・・・(3)  よって   An=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗+Q/(1-P)・・・・・(4)    と一般項が求まります。  -------------------  数列{An-α}の公比はPになることは直感的に判るのですが  初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが  最後に求まったのはAnの一般項でした。  それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果  です。  ここでの漸化式はAn+1-α=P(An-α)の形式に持ち込めたら  公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項  が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ  つかめません。  解説のほどよろしくお願いいたします。    

  • 漸化式の…

    漸化式のα=pα+qを利用する方程式の教科書説明で 「p、qを定数、p≠1として漸化式が       an+1=pan+q で表されている時、この式がある値αを用いて       an+1-α=p(an-α) と変形できたとすると、数列{an-α}は公比pの等比数列になる。」ってところで、何故数列{an-α}なのでしょう?数列{an+1-α}ではないのでしょうか?

  • 数列の漸化式

    数列の漸化式のひとつの a1=a an+1=pan+q という場合は an+1-c=p(an-c) としてcの値を求めますが、さっき問題を解いていて気付いたのですが、cの値を求める時に、an+1とanをcに置き換えて c=pc+qとして方程式を解くとcの値が求まってしまうのですがなぜですか? 5問位やって確かめたので偶然ではないと思うのですが。学校の教科書にも載っていません。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

p = 1 のとき、A1=1, An+1 = An + 1 の等差数列なので、An = n 以下、p≠1 とする An+1 = p An + p^(-n)   ・・・ (1) を、等比数列の形 An+1 + α p^(-(n+1)) = p { An + α p^(-n) } ・・・ (2) で表せないか調べてみる。(2) を変形すると、 An+1 = p An + p^(-n) ( p - p^(-1) ) α となるから、(1) と比較して、 ( p - p^(-1) ) α = 1 α = 1 / ( p - p^(-1) ) = p / ( p^2 - 1 ) とすれば (1) から (2) へ変形できることが分かります。ここで (2) において、 Bn = An + α p^(-n) とおけば、Bn は公比 p の等比数列で、その初項は B1 = A1 + α p^(-1) = 1 + (1 / (p^2 - 1)) = p^2 / ( p^2 - 1) よって、 Bn = p^(n-1) B1 = p^(n+1) / (p^2 - 1) An = Bn - α p^(-n)   = { p^(n+1) - p^(-n+1) } / (p^2 - 1)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

p^(n+1) で割るのが普通かな?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数列 漸化式

    こんばんは、 数列の漸化式、特性方程式について質問します。 An+1=pAn+q(n=1,2,3、、)p,qは定数はα=pα+qを満たすαを用いて、An+1-α=p(An-α)と変形出来ますよね。 そこで質問なのですが、An+1=pAn +qはAn+1とAnが連続しているからαと置いて、変形できるんですよね? ある問題を解いていて、A2n+1=1/2A2n-1 +1/2(n=1,2,3、、)という式も、 特性方程式を用いて、A2n+1-1=1/2(A2n-1-1)と変形していました。こちらの式は、A2n+1とA2n-1は連続していませんよね? 私の、特性方程式の使い方間違っているんでしょうか? よくわからないので、教えていただきたいです。お願いします!

  • 数列・漸化式

    数列{an}を a1=(sinθ)^2 an+1=4an(1-an) (n=1,2,3,・・・)と定義する (ただしθは 0<θ<π/2 を満たす定数) このとき an={sin(2^n-1)θ}^2 はすぐ帰納法で示せるんですが nがどのような値をとってもanが一定になるようにθを定めたいのですが どのようにθの値を決めればいいのでしょうか?

  • 数列の漸化式質問

    教科書で漸化式の記述です。 an+1=pan+qで与えられている数列の求め方 例 a1=3 an+1=3an-4 で定義されている数列を{an}とする 数列{an}は 3 , 5 , 11 , 29 , 83 ,・・・となりますよね。 この数列{an}の各項から2を引くとできる 数列を{an -2}は 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ・・・ となる。数列{an -2}は、初項1 公比3 の等差数列になっている。 数列{an}に対して、数列{an -2}の一般項は an -2=1×3^n-1となっています。 ここが何でn-1なのですか? {an}はn項あると思うのですが・・・ できるだけ詳しい解答お願いします。

  • 数学Bの漸化式です

    数学Bの漸化式です。 わからない問題があるのでわかりやすく教えて下さい。 [問題] 漸化式A1=1、An+1=2An+2^n (n=1.2.3.....)で定められている数列{An}がある。 <1>Bn=An/2^nとおく。数列{Bn}の満たす漸化式を求めよ。 <2>数列{An}の一般式を求めよ。 [注意]^←この記号は二乗を意味してます。 と言う問題です。よろしくお願いします。

  • 漸化式の問題です

    初項A1=√2 漸化式A(n+1)=√2+An(n=1,2,3・・・) 注:Anまで根号はいります で、定義される数列{An}について以下の問いにこたえよ。 1.log(A1&#65293;1)+log(A2&#65293;1)+log(A3&#65293;1)+log(A3+1)の値を求めよ。 2.すべての正の整数nについて、次の不等式が成り立つことを示せ   0<2-An<1/2の(n-1)乗 3.∞   Σlog(An-1)を求めよ   n=1 みにくいとおもいますが、至急回答をお願いします><

  • 隣接3項間の漸化式

    隣接3項間の漸化式についてです。 一般項はanとすると見にくいのでAnとします。 An+2+pAn+1+qAn=0 (p,qは定数) から場合分けして解いていきますが、これは=0の時しか使えないのでしょうか?

  • 漸化式

    a1=1,a2=4,an+2=2anで定められる数列{an}の第8項と第9項を求めよ この問題で解説には 1,4,2,8,4,16,8,32,16 であるから a8=32 a9=16 とありました この数の並びから、一つ置きに2をかけていることはわかるのですが なぜそうなるのかわかりません この問題のタイトルには「漸化式」とありました 漸化式の問題は今までに解いたことがありますが an+1=5an+8 などの形しか見たことがありません an+2=2anのこれも漸化式なんでしょうか? わかる方がいれば回答をお願いします

  • 漸化式

    よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列{An}の一般項を求めよ。  A1=2、An+1=An/(1+An) (n=1、2、3、……) [解] 条件により A1=2/1、A2=2/3、A3=2/5、A4=2/7  よって、一般に         An=2/(2n-1) ・・・・・・(1)  となることが推測される。   一般項が(1)である数列{An}が、条件を満たすことを示す。  [1] (1)でn=1とおくと  A1=2  [2] (1)をAn/(1+An)に代入すると       An/(1+An)=2/(2n-1)÷{1+2/(2n-1)}              =2/(2n-1)÷(2n+1)/(2n-1)              =2/(2n+1)              =2/{2(n+1)-1}    よって、An+1=An/(1+An) が成り立つ。  [1]、[2]から、求める一般項は  An=2/(2n-1)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、A1は初項、Anは第n項、An+1は第n+1項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 [2]の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか?。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数nについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね?。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか?。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。

  • だれか隣接3項間漸化式について教えてください。

    中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。  漸化式  A1=2, A2=3, An+2=5An+1&#65293;6An    n>=1 ・・・(1)  を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。  そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの  漸化式を満たす数列があるのか、ということです。  結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を  公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の  ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局    An+1&#65293;2An=(A2&#65293;2A1)3^n-1    n>=1  ・・・(2)    An+1&#65293;3An=(A2&#65293;3A1)2^n-1    n>=1  ・・・(3)  という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、    An=(A2&#65293;2A1)3^n-1&#65293;(A2-3A1)2^n-1     n>=1  となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は    An=-1×3^n-1+3×2^n-1     n>=1 ・・・(4)  となりました。  これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの  証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を  満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが  一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。  (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが)  このあたりの事情がよく判りません。  どなたか解説して戴けないでしょうか。

  • 漸化式

    まず、an,a1,an+1をうまく表記できなかったので大変見にくいかと思いますが、それぞれaの右下にあるものと思ってください。大変申し訳ありませんがご了承ください。 「数列{an}において、漸化式    a1=a、16a(n+1)=an+3(n≧1)を考える。 このとき、この漸化式は、16(an+1-1/5)=an-1/5 と変形できるので、一般項 an は、an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)」という解答で 16(an+1-1/5)=an-1/5という式から一般項 an=1/5+(1/16)^n-1(a-1/5)の導き方がわかりません。教えてもらえないでしょうか。よろしくおねがいします。