３項間漸化式の変形について

質問

３項間漸化式の変形をするときに、

a_(n+2)-αa_(n+1) = β(a_(n+1)-αa_n)

と変形できるのはなぜなのでしょう？

どうして、その位置にαとβが出てくるのかが不思議です。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

まず，もともとの形が，例えば

(1)a_(n+2)-5a_(n+1)+6a_n=0

であるとしましょう．もし，

(2)α+β=5,αβ=6

となるα，βを見つけることができれば(1)は

(3)a_(n+2)-(α+β)a_(n+1)+αβa_n=0

となります．これを変形すると

a_(n+2)-αa_(n+1)-βa_(n+1)+αβa_n=0

a_(n+2)-αa_(n+1)=βa_(n+1)-αβa_n

(4)a_(n+2)-αa_(n+1)=β(a_(n+1)-αa_n)

と変形できました．（回答？）

(2)はα=2,β=3とすれば成り立ちますから(4)は

a_(n+2)-2a_(n+1)=3(a_(n+1)-2a_n)

となります．また，(2)はα=3,β=2としても成り立ちますから(4)は

a_(n+2)-3a_(n+1)=2(a_(n+1)-3a_n)

ともなります．どちらで解いてもよいでしょう．あるいは両方使うことも．

さて，(2)のα，βの値はどうやってみつけるのか．それは数列を学んだ方なら2次方程式を学んだでしょう．つまり(2)を満たすα，βは2次方程式

x^2-5x+6=0

を解けばよいのです．これを(1)の特性方程式と呼ぶことがあります．

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞a_(n+2)-αa_(n+1) = β(a_(n+1)-αa_n)
＞と変形できるのはなぜなのでしょう？

というよりは、このような変形を要請している。ということかと。
このような形に変形できれば、a(n+1)- α・a(n)＝ b(n)と置くことで、
等差数列の形に持っていけますよね。
（β＝ 1の場合は等差数列とも）

そして、この要請した漸化式を変形すると、
a(n+2)- (α+β)・a(n+1)+ αβ・a(n)＝ 0

という形になります。
これは、「足して α+β、かけて αβとなる 2数を求めればよい」ことを示しており、
2次方程式の解として与えることができることになります。

また、隣接 2項間の場合も同じようなことを考えています。
a(n+1)- q＝ p・{ a(n)- q }

という形を要請して、それを満たす p, qを求めていることになりますよね。