- 締切済み
漸化式
次の漸化式の一般項を求めてください！ お願いしますm(_ _)m a[n+1]＝{a[n]-1}/{4a[n]-3} a[1]＝1/3です。
- ribbon_forever
- お礼率0% (0/41)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
みんなの回答
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
一次分数変換による漸化式は、 数列を分子と分母に分けると ベクトルの漸化式に変形できる。 a[n+1] = { a[n] - 1 } / { 4a[n] - 3 } を a[n] = x[n] / y[n] で置換すると x[n+1] / y[n+1] = { x[n] - y[n] } / { 4x[n] - 3y[n] } なので、 x[n+1] = x[n] - y[n], y[n+1] = 4x[n] - 3y[n] を満たす x[n], y[n] があれば、 a[n] = x[n] / y[n] が求めたい解であることが判る。 v[n] = 転置(x[n],y[n]) と置いて、 v[n+1] = A v[n], v[1] = 転置(1,3). ただし、A = 1 -1 4 -3 に問題を変形し、 v[n] = (A^(n-1)) v[1] の A^(n-1) を計算する方法と、 y[n] を消去して、 線形漸化式 x[n+1] - x[n+2] = 4x[n] - 3{ x[n] - x[n+1] } を解く方法があるだろう。
an = n / (2n＋1) って推定出来るから数学的帰納法で証明すればいいんじゃない？ もっと簡単なやり方あるかな？
関連するQ&A
- 漸化式
よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列｛Ａn｝の一般項を求めよ。 Ａ1＝２、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn) （ｎ＝１、２、３、……） [解] 条件により Ａ1＝２／１、Ａ2＝２／３、Ａ3＝２／５、Ａ4＝２／７ よって、一般に Ａn＝２／(２ｎ－１) ・・・・・・(1) となることが推測される。 一般項が(1)である数列｛Ａn｝が、条件を満たすことを示す。 ［１］ (1)でｎ＝１とおくと Ａ1＝２ ［２］ (1)をＡn／(１＋Ａn)に代入すると Ａn／(１＋Ａn)＝２／(２ｎ－１)÷{１＋２／(２ｎ－１)} ＝２／(２ｎ－１)÷(２ｎ＋１)／(２ｎ－１) ＝２／(２ｎ＋１) ＝２／{２（ｎ＋１）－１} よって、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn) が成り立つ。 ［１］、［２］から、求める一般項は Ａn＝２／(２ｎ－１)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、Ａ1は初項、Ａnは第ｎ項、Ａn+1は第ｎ＋１項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 ［２］の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか？。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数ｎについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね？。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか？。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ちょっと難解な漸化式の問題です！
ある関数の第n次導関数を求める際の計算過程で次の複雑な漸化式が出てきました。 a_(n+1)＝－(n+1)×a_n＋(－1)^n×n！ この漸化式は一体どのようにすれば解けるのでしょうか？ ただし、a_(n+1)、a_nはそれぞれ第n+1項、第n項を表しています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列 漸化式
A(n+1)=2A(n)+n （初項A(1)=1） という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか？ 回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- の漸化式で定義される数列{an}の・・・
次の漸化式で定義される数列{an}の一般項を求めよ。 （１）a[1]=2, a[n+1]=a[n]-3 (n=1,2,3,・・・） （２）a[1]=1, a[n+1]=5a[n] (n=1,2,3,...) よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式の一般項の求め方を教えてください。
漸化式 a(n+1) = {(n+3)/(n+4)} * a(n) +1 のように、a(n)の前にnの関数が付いている場合の 一般項の求め方を教えていただけないでしょうか？ かなり検索してみたのですが、見つけられませんでした。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
