漸化式

質問

次の漸化式の一般項を求めてください！
お願いしますm(_ _)m

a[n+1]＝{a[n]-1}/{4a[n]-3}

a[1]＝1/3です。

回答No.2

alice_44

一次分数変換による漸化式は、
数列を分子と分母に分けると
ベクトルの漸化式に変形できる。

a[n+1] = { a[n] - 1 } / { 4a[n] - 3 }
を a[n] = x[n] / y[n] で置換すると
x[n+1] / y[n+1] = { x[n] - y[n] } / { 4x[n] - 3y[n] }
なので、
x[n+1] = x[n] - y[n],
y[n+1] = 4x[n] - 3y[n]
を満たす x[n], y[n] があれば、
a[n] = x[n] / y[n] が求めたい解であることが判る。

v[n] = 転置(x[n],y[n]) と置いて、
v[n+1] = A v[n],
v[1] = 転置(1,3).
ただし、A =
　　1　　-1
　　4　　-3
に問題を変形し、
v[n] = (A^(n-1)) v[1] の A^(n-1) を計算する方法と、

y[n] を消去して、
線形漸化式 x[n+1] - x[n+2] = 4x[n] - 3{ x[n] - x[n+1] }
を解く方法があるだろう。

回答No.1

noname#187824

an = n / (2n＋1)
って推定出来るから数学的帰納法で証明すればいいんじゃない？

もっと簡単なやり方あるかな？