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漸化式についてです

a[n+2]+a[n]=0 a[1]=-1 a[2]=0 という漸化式の一般項を求めよ、という問題なのですが 最終的にiが残らない形になるようにする方法が分かりません。 どなたか分かる方教えて下さると嬉しいです。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.4
  • SKJAXN
  • ベストアンサー率73% (52/71)

この漸化式の一般項は、 a[n]=-sin(π/2*n) で表せるかと存じます。理由は下記のとおりです。 貴殿は、3項間漸化式の特性方程式 λ^2+p*λ+q=0 の解がα、β(α≠β)となるとき、一般項が a[n]={β^(n-1)*(a[2]-α*a[1])-α^(n-1)*(a[2]-β*a[1])}/(β-α) →(式1) で表されることはご理解されているものの、今回の特性方程式の解がλ=±iとなってしまう点で躓かれたものと察しております。 虚数解となったとしても、α=-i、β=i として(式1)に代入すると、 a[n]={i^(n-1)*(0-(-i)*(-1))-(-i)^(n-1)*(0-i*(-1))}/(i-(-i)) ={i^(n-1)*(-i)-(-i)^(n-1)*i}/(2*i) =-{i^n-(-i)^n}/(2*i) ここでオイラーの公式 exp(i*θ)=cos(θ)+i*sin(θ) に着目すると、 i=exp(i*π/2)、-i=exp(i*(-π/2)) より、 i^n=exp(i*π/2*n)、(-i)^n=exp(-i*π/2*n) であるので、 a[n]=-{exp(i*π/2*n)-exp(-i*π/2*n)}/(2*i) 再びオイラーの公式 sin(θ)={exp(i*θ)-exp(-i*θ)}/(2*i) に着目すると、 a[n]=-sin(π/2*n) が導出されます。いかがでしょう?

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質問者からのお礼

そうですね、確かにiで苦戦していました。 おかげさまで理解することができました。 回答ありがとうございました。

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  • 回答No.3

初項から順に求めていくと -1, 0, 1, 0, -1, 0, .... こりゃもう決まりだね。

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質問者からのお礼

それだけ見たらとても簡単ですね... 複雑になるとばかり思っていたので非常に拍子抜けしました。 回答ありがとうございました。

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

と #1 を見ると, a[n] に 4 という周期が見える. 「周期関数」で何か思いつきませんか?

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質問者からのお礼

周期、でピンときました。 そう考えれば簡単でしたね。 回答ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • Willyt
  • ベストアンサー率25% (2858/11130)

a(2)=0 なのですから a(2n)=0 になりますね。 また、a(1)=-1 なのですから a(3=1、 a(5)=-1 ・・・となります。 a(4nー1)=1 a(4n+1)=-1 です。

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質問者からのお礼

なるほど、そういう解き方もあるんですね。 特性方程式~の流れしか頭になかったので非常に参考になりました。 ありがとうございました。

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