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隣接3項間漸化式の問題
a_1 = 1, a_2 = 2 で a_(n+2) = a_(n+1) + a_n を満たす数列 { a_n } の一般項を教えてください。 よろしくお願いします。
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- さゆみ（@sayumi0570）
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中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 A1=2, A2=3, An+2=5An+1－6An n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式X＾2=5X-6の解 Ｘ=2、X=3 から 2＾n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 An+1－2An=(A2－2A1)3＾n-1 n>=1 ・・・(2) An+1－3An=(A2－3A1)2＾n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 An=(A2－2A1)3^n-1－(A2-3A1)2^n-1 n>=1 となり、条件A1＝2、A2=3を代入して一般項は An=-1×3^n-1＋3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
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