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数B 漸化式の問題
数列{a[n]}は、初項a[1]=2, a[n+1]=a[n]/(4a[n]+3) (n=1,2,3,……)により定められる。数列{a[n]}の一般項を求めよ。 逆数をとり、 1/a[n+1]=(4a[n]+3)/a[n]=(3/a[n])+4 ここまでは分かるのですが、どのように b[n+1]=b[n]+… のような形に持っていくのかが分かりません。 解答はa[n]=2/{5・3^(n-1) -4}なのですが、 自分でやってみると、 a[n]=3/(4n-2/7) のようになってしまします。 よろしくお願いします。
- sgormtk
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1/a[n+1] = 3(1/a[n]) + 4 ですから b[n] = 1/a[n] とおくと b[n+1] = 3b[n] + 4 となり b[n+1] + 2 = 3(b[n] + 2) と変形できて、さらに c[n] = b[n] + 2 とおくと c[n+1] = 3c[n] となって、これは等比数列の漸化式です。 あとは分かりますね。
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- uuu-chan
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b[n]=1/a[n] とおきます。このとき b[n+1]=1/a[n+1] となります。従って、 1/a[n+1]=(3/a[n])+4 1/a[n+1]=3×(1/a[n])+4 b[n+1]=3b[n]+4 という式になります。
お礼
ありがとうございました＾＾
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