数学Bの数列の問題の答えと解き方が分かりません。

質問

下の問題の解き方と答えが分かりません。
どなたか教えてくれませんか？

次の条件によって定められる数列｛a_n｝がある
　a1=1/3 , 1/a_n+1 - 1/a_n=2n+3 (n=1,2,3,・・・・・・)

(1) 1/a_n=b_n とおくとき、数列｛b_n｝の一般項を求めよ。

(2) 数列｛a_n｝の一般項を求めよ。

　　　　という問題です。

　数列の表し方がよく分かっていないので不自然な点があるかもしれませんが、そのときは教えて下さい。
　お願いします。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

Ｎｏ．１の回答者です。
すみません。ｂ2とｂ3の計算で、ｎが１個ずれてました。

ｂ1　＝　３
で
ｂn+1　＝　ｂn　＋　２ｎ　＋　３
なので、
ｂ2　＝　ｂ(1+1)　＝　３　＋　２・１　＋　３　＝　８
ｂ3　＝　ｂ(2+1)　＝　８　＋　２・２　＋　３　＝　１５
ですよね。馬鹿です、私。

よって、３つの係数ｐ、ｑ、ｒを決める連立方程式は、
（あ）ｐ　＋　ｑ　＋　ｒ　＝　３
（い）４ｐ　＋　２ｑ　＋　ｒ　＝　８
（う）９ｐ　＋　３ｑ　＋　ｒ　＝　１５
になります。

（い）－（あ）より
３ｐ　＋　ｑ　＝　５　（え）

（う）－（あ）より
８ｐ　＋　２ｑ　＝　１２
４ｐ　＋　ｑ　＝　６　（お）

（お）－（え）より
ｐ　＝　１
これを（え）に代入して
３　＋　ｑ　＝　５
ｑ　＝　２
これらを（あ）に代入して
１　＋　２　＋　ｒ　＝　３
ｒ　＝　０

以上のことから、
ｂn　＝　ｐｎ^2　＋　ｑｎ　＋　ｒ　＝　ｎ^2　＋　２ｎ
　＝　ｎ（ｎ＋２）

お礼

こんな解き方気づきもしませんでした。
ありがとうござしました。

回答No.3

R_Earl

b_n+1 - b_n = 2n + 3という漸化式は、
b_nの階差数列が2n + 3である事を意味します
(b_n+1からb_nを引いたものが2n + 3なので)。
階差数列を元に一般項を求める方法は習ってますよね。
その方法を使えばb_nの一般項が出ます。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

(1) b_(n+1), b_n 以外の式が2n+3 とnの１次式なので、得られた漸化式が
　　　b_(n+1)+p(n+1)^2+q(n+1)=b_n+pn^2+qn
となるように　pとqを求めてください。
　そうすれば　{b_n}の一般項は　ｎの２次式で表されることが分かると思います。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

sanori

こんにちは。

（１）
１／ａn+1　－　１／ａn　＝　２ｎ　＋　３
なので
ｂn+1　－　ｂn　＝　２ｎ　＋　３
ですね。

ずるい考え方を紹介します。
第ｎ＋１項ｂn+1と第ｎ項ｂnの差がｎの一次関数の形になっているとき、
一般項ｂnは二次関数の形になります。

ａ1　＝　１／３　なので　
ｂ1　＝　３　ですね。
そして
ｂ2　＝　ｂ1　＋　２・２　＋　３　＝　１０
ｂ3　＝　ｂ2　＋　２・３　＋　３　＝　１９

よって、
ｂn　＝　ｐｎ^2　＋　ｑｎ　＋　ｒ　と置いて、
３　＝　ｐ×１　＋　ｑ×１　＋　ｒ
１０　＝　ｐ×４　＋　ｑ×２　＋　ｒ
１９　＝　ｐ×９　＋　ｑ×３　＋　ｒ
という連立一次方程式で　ｐ、ｑ、ｒ　を求めればよいです。

最後に、ｂn+1　－　ｂn　＝　２ｎ　＋　３　になることを確かめ示せば、誰にも文句は言われません。

（２）
（１）の答えの逆数ですね。

補足

すいません、この方法を試してみたのですが答えが違う値になってしまいます。
答えは(1)がn(n+2)になるみたいです。
すいませんが確認お願いできますか？